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la courbe de gorge À de la surface réglée, et que le plan P de l’ellipse de gorge sera le 
plan osculateur de la courbe A pour le point a. 
Par conséquent, la génératrice G de la surface réglée se projètera orthogonalement sur le 
plau P suivant la tangente à la courbe À au point a. 
Il existe deux espèces de surfaces réglées , celles qui ont un cône directeur et celles qui ont 
un plan directeur. 
Les premières n’ont que des hyperboloïdes osculateurs , les secondes n’ont que des para- 
boloïdes osculateurs. 
EÉnumérons les diverses propriétés dont ces premières surfaces jouissent par rapport à leur 
courbe de gorge. 
La courbe de gorge peut être plane ou à double courbure, 
29, 95 la courbe de gorge est plane , la surface réglée aura toujours pour cône directeur 
un cône du second degré. 
En effet : 
Le cône directeur D de la surface réglée aura pour cônes osculateurs les divers cônes (7, 
d', d"', etc., directeurs des hyperboloïdes osculateurs (en supposant qu’ils ont tous un som- 
met commun). 
Comme la courbe de gorge A est plane, tous ces cônes du deuxième degré auront même 
axe perpendiculaire au plan de la courbe À, Si donc on coupe le cône D par un plan Q per- 
pendiculaire à cet axe, on aura une courbe C qui aura pour osculatrices les diverses ellypses 
e,e!,e", ete., sections des cônes d, d!, d'!, etc., par le plan Q, et toutes ces ellypses auront 
pour centre commun le point en lequel le plan Q coupe l'axe; de plus, comme l’hyperbo- 
loïide osculateur H est tangent à l’hyperboloïde osculateur infiniment voisin H', toutes ces 
ellypses e, e', e!', etc. , seront tangentes e avec e', e' avec e', etc. , en supposant les cônes 
d, d', d'', etc., successifs et infiniment voisins. Or il est évident que l’on ne pourra jamais 
construire une courbe © ayant un contact du deuxième ordre avec chacune de ces ellypses 
qui s’enveloppent les unes les autres. 
Il faut donc que la courbe C et toutes ces ellypses se réduisent à une seule ellypse E. 
Il faut donc que le cône directeur D soit du second degré, et l’on peut en conclure que 
toute surface réglée dont la courbe de gorge est plane jouit de cette propriété , savoir que 
les hyperboloïdes osculateurs ont pour courbes de gorge des ellypses semblables. 
3°. Les surfaces réglées qui ontun cône directeur peuvent avoir tous leurs hyperboloides 
osculateurs de révolution. R 
Il est évident que cela aura lieu lorsque les génératrices de la surface couperont la courbe 
de gorge plane ou à double courbure sous un angle constant. 
4°. Lorsque la courbe de gorge est plane, si les génératrices la coupent sous l’angle droit , 
on a un cylindre. 
5°. Lorsque la courbe de gorge est à double courbure, si les génératrices Ja coupent sous 
l'angle droit , on a une surface développable dont l’arête de rebroussement a pour l’une de 
ses développantes la courbe donnée comme étant la gorge d’une surface réglée, 
6°. Lorsque la courbe de gorge sera plane et que les hyperboloïdes osculateurs de la sur- 
face réglée seront tous de révolution, le cône directeur de la surface sera un cône de ré- 
volution. 
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