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Î! est facile de voir que si G ne passé pas par l’un des quatie sommets de l’ellipse de gorge, 
le paraboloïde normal n'aura aucune deses génératrices du même système que G perpen- 
diculaire au plan de l'ellipse de gorge, par conséquent comme pour tous ces hyperbo- 
loïdes de révolution, le sommet du paraboloïde normal est un des points de leur cercle de 
gorge, il s'en suit que les sommets des divers paraboloïdes normaux de H ne seront pas 
situés sur l’ellipse de gorge de H, excepté pour ceux qui sont menés suivant les généra- 
trices se croisant aux quatre sommets de cette ellipse de gorge. 
La courbe formée par les sommets des paraboloïdes normaux, est composée de deux bran- 
ches fermées et à double courbure, symétriquement placées par rapport au plan de l’ellipse 
de gorge, et se croisant aux quatre sommets de cette ellipse. $ 
Si nous prenons le centre S de l’ellipsoïde H, et que par ce point, et par chacune des 
normales menées à H en les divers points de G nous fassions passer des plans, tous seront 
tangens au paraboloïde normal suivant G. Tous ces plans seront les enveloppées d’une sur- 
face enveloppe tangente au paraboldide normal. Cette surface enveloppe sera un cône D 
du second degré tangent au paraboloïde suivant une section conique (parabole ou hyperbole). 
Remarquonsque le plan de l’ellipse de gorge passe par une des normales à la surface H, et qu'il 
est perpendiculaire au plan tangent mené suivant G lequel a pour point de contact avec H, le 
point où G coupe l’ellivse de gorge, par conséquent le plan de gorge sera tangent au 
cône D. 
Si suivant une aulie génératrice G' on menait le paraboloide normal, on trouverait de 
même un cône D'ayant S pour sommet, langent à ce même paraboloïde, et le plan de gorge 
serait encore tangent à ce cône D. 
Ainsi l’hyperboloïle à une nappe, jouit de cette propriété, savoir : 
19 Que le plan de gorge est tangent à tous les cônes qui ayant leur sommet au centre de La 
surface, son! langens aux paraboloïdes normaux menés suivant Les diverses génératrices de 
la surface. 
Il est évident que si l’on considère deux génératrices de systèmes dilférens G et g paral- 
lèles entr'elles , le cône tangent au paraboloïde normal suivant G sera aussi tangent au para- 
boloïde normal suivant g. 
Pour avoir le plan de gorge d’un hyperboloide à une nappe, il faudra donc construire 
deux paraboloïdes normaux N suivant G, N° suivant G'; et par le centre S de la surface H, 
construire deux cônes D et D’, tangens, l’un D à N'; l’autre D'à N'; puis par le point S mener 
un plan tangent commun aux deux cônes D et D', lequel sera le plan de gorge demandé (1). 
Si donc on a une surface réglée, pour déterminer sa courbe de gorge, il faudra prendre 
une génératrice G, construire l’hyperboloïde H osculateur suivant G, déterminer le plan 
de gorge de H , lequel coupera G en un point a qui appartiendra à la courbe de gorge A de 
la surface réglée, et effectuer pour chaque génératrice les mêmes constructions. 
Il est bien évident que l’ellipse de gorge de l'hyperboloïde osculateur sera osculatrice de 
(1) La construction des sections circulaires du cône oblique, donnée dans la séance du 19 janvier 1855, 
devra donc être modifiée en ce qui concerne la construction de l’axe de l’hyperboloïde ayant ce cône pour 
surface assymptote , toutes les autres opérations graphiques indiquées étant exactes. 
