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lu second ordre, tangens suivant G, mais n'ayant que la génératrice G en commun avec la 
surface réglée, si trois plans tangens arbitraires menés suivant G coupent la surface suivant 
une courbe offrant un rebroussement au point de contact (et si cela a lieu pour trois plans 
tangens , cela aura lieu pour tous les autres). , 
Et au coutraire tous les hyperboloïdes et paraboloïdes tangens suivant G auront deux gé: 
nératrices successives et infiniment voisines en commun avec la surface réglée, si trois plans 
tangens arbitraires menés suivant G coupent, chacun, la surface suivant une courbe offrant 
une ivflexion ou un point ordinaire, au point de contact, pour lequel la tangente à cette 
courbe aurait un seul élément rectiligne commun avec elle. 
Mais quoique dans ce cas particulier (du rayon de courbure nul en tous les points de la 
génératrice G) il n’y ait ni hyperboloïde ni paraboloïde osculateur, cepéndant il existera 
toujours où une hypérboloïque ou an paraboloïde qui jouira de la propriété particulière à 
la surface osculatrice du même ordre. 
Savoir : que si l’on mène une série de plans tangens à lasurface régléesuivänt la génératrice 
G , ces plans couperont la surface suivant des courbes dont les tangentes aux points de contact, 
formeront toujours ou un hyperbofoïde, ou un paraboloïde, tangent à la surface réglée suivant G. 
Mais on ne pourra reconnaître si la surface tangente est un hyperloiïde où un paraboloïde, 
qu’en considérant trois sections dé la surface réglée, fäites par trois plans tangens arbitraires 
menés par G:;siles tangents sont parallèles à un même plan, on aura un paraboloïde, autre- 
mént on auraun hyperboloïde; et je le répète, la courbe A base du cône directeur de la 
surface réglée ne peut rien indiquer, dans ce cas, parce que le rayon de courbure est nul 
pour le point singulier , que cette courbe présente au point que l’on considère. 
En résumé : 
1° Si une surface gauche S a un cône directeur D, tel que la courbe de section de ce cône 
D par un plan quelconque, n'offre aucun point singulier , il y aura suivant chacune dés gé- 
nératrices de S, un hyperboloïde osculateur. 
2° Si une surface gaucheS a un plan directeur P, il ÿ aura suivant chacune des génératrices 
de la surface S, un paraboloïde osculateur. 
Construction géométrique du rayon de courbure en un point d'une courbe, pour lequel 
on connait la tangente à La courbe. 
Soit donné une courbe plane C; un point »2 sur cette courbe et sa tangente 7#t au point 
m ;-on demande le rayon de courbure de la courbe C pour ce point 1. 
La solution de ce problème devient facile, en vertu de ce j'ai dit précédemment sur 
l’hyperboloïle osculateur d’une surface gauche, etsur le cône directeur que possède toute 
surface réglée, 
En effet: 
Concevons hors du plan de la courbe C un point S comme sommet d’un cône D ayant 
pour base la courbe C; joignons S et »2 par une droite g qui sera l’une des génératrices 
du cône D. Prenons sur £g deux points arbitraires 7 el n! et menons deux droites arbi- 
traires N par #, N' par »'. Nous pourrons regarder N et N° comme les directrices d’une surface 
réglée ayant D pour cône directeur, g étant une des génératrices droîtes de cette surface 
réglée. Suivant g, il y aura un hyperboloïde osculateur Hde la surface réglée, puisque 
