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surface gauche , on peut avec bien plus de facilité discuter les divers cas qui peuvent se pré- 
sentir. 
En effet : 
Désignons par D le cône directeur ; Pon sait que chaque génératrice de ce cône à pour pa- 
rallèle une des génératrices de la surface gauche donnée ; désignons, par g la génératrice du 
cône, et par G la génératrice qui Jui est parallèle et qui appartient à la surface gauche, et 
suivant laquelle on veut construire une surface gauche du second ordre osculatrice; coupons le 
cône D par un plan quelconque P, l’on aura une courbe À , et sur cette-courbe un point«, ren- 
contre de plan P et de la génératrice g; enfin, menons &é, tangente à la courbe A au point a. 
Cela posé : ' 
L'on sait que tout byperboloïde à une nappe a pour côue directeur un cône du second de- 
gré ; que tout paraboloïde hyperbolique, a pour cône directeur le système de deux plans; 
que si deux surfaces réglées sont osculatrices l’une à l’autre suivant une génératrice com- 
mune, leurs cônes directeurs étant supposés avoir même sommet, seront aussi osculateurs 
l’un à l’autre. 
Par conséquent : k 
S'il existe un hyperboloïide osculateur suivant G, il faudra que l’on puisse construire un 
cône du:second ordre csculateur au cône D suivant g. Il faudra donc que la courbe A ait au 
point a un rayon de courbure qui re soit ni nul ni infini. 
Si au coutraire il'existe un paraboloïde hyperbolique osculateur , il faudra que l’on puisse 
construire uu plan osculateur au cône D suivant g. Il faudra donc que la courbe A ait au 
point & un rayon de courbure infini, donc en ce point la courbe À pourra présenter ou une 
inflexion ou un méplat. : 
Enfin , si suivant G il n'existe pas de surface gauche du second ordre osculatrice, il faudra 
que À ait un rayon de courbuïe nul pour le point 4; qu’elle offre dès-lors en ce point ou-une 
inflexion du premier orire (c’est-à-dire qu’elle n’ait qu’un contact du pfemier ordre avec sa 
tangente, l'inflexion existant ) ou bien ur point rebroussement de première ou de deuxième 
espèce. 
Et comme la surface gauche, du second ordre, osculatrice à une surface réglée suivant 
une de ses génératrices G, détermine la courbure de cette surface en chacun des points de la 
droite G, on doit conclure, puisque cette surface osculatrice n'existe pas, que dans ce cas, 
la surface réglée a ses rayons de courbure, maximum et minimum, nuls en chacun des points 
de la génératrice G. 
Lorsqu'une courbe a pour un de ses points un rayon de courbure nul, elle offre en ce 
point un rebroussemeut ou une inflexion, la tangente en ce point n’a pas un élément recti- 
ligne commun avec sa courbedans le cas de rebroussement; il n’y a réellement qu’en seul 
point commun, entre la courbe et sa tangente; la tangente est alors une véritable sécante, 
mais ayant une position toute spéciale par rapport à Ja courbe. Dans le cas de l’inflexion , 
la tangente a un élément rectiligne commun avec sa courbe, 
Nous devons conclure delà, que lorsqu'une surface réglée aura ses rayons de courbure 
vuls , en le; divers points d’une de ses génératrices G (et il suffit que l’on ait trouvé que les 
rayons de courbure étaient nuls en trois points de la génératrice, pour être assuré qu'ils le 
seront en Lous les autres) ,il ytaura une fnfinité d'hyperboloïdes ou, de paraboloïdes gauches 
