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dont les plans des sections circulaires sont respectivement perpendiculaires aux ueux droites 
données. 
Ce théorème n’est qu'un cas particulier d’un théorème plus général que l’on peut 
énoncer de la manière suivante, et je ne sache pas qu’il suit énoncé quelque part. Étant 
donné un cône du second degré ; si on lui mène deux plans tangents quelconques 
désignant par D leur intersection et par G et H les génératrices de contact; si l’on 
prend sur D à droite et à gauche deux points m et n également distants du sommet du cône; 
si par le point m on mène deux droites g et g' parallèles à G, et par n, A et L' parallèles 
à H; si enfin, par une génératrice quelconque V du cône, l’on fait passer deux plans, 
contenant l’un G et l’autre H, et que par g l’on mène un plan P parallèle au plan (V, G) et 
par # un plan Q parallèle au plan ( V, H ), les deux plans P et Q se couperont suivant une 
droite v parallèle à V. Toutes les droites telles que v formeront un hyperboloïde à une 
nappe ayant pour cône asymptote, le cône donné et pour centre le sommet de ce cône. 
Si au contraire c’est parg' que l’on mène un plan parallèle au plan (V, H ) et par L'un 
plan parallèle à (V,G ;, la droite v' d’intersection sera parallèle à V, et toutes les droites 
telles que v’ formeront le même hyperboloïde; de sorte que les droites telles que v en seront 
les génératrices du premier système, et les droites telles que v' en seront les génératrices du 
deuxième système. 
Le théorème général peut encore être énoncé de la manière suivante. 
Étant donné une section conique c (ayant un centre } et un diamètre arbitraire de cette 
courbe, si par l’une des extrémités de ce diamètre on mène deux droites arbitraitres D et 4, 
mais cependant telles que leur plan coupe celui de la courbe € suivant une tangente à cette 
courbe; si par l’autre extrémiléon mène deux droites respectivement parallèles D'à D, d'à d; 
si enfin, par un point quelconque m de la courbe c l'on fait passer deux plans, l’un par Det 
l'autre par d', leur intersection v sera la génératrice du premier système d’un hyperboloïde 
à une nappe ayant pour cenire, le centre de la section conique ; si au contraire par le même 
point » l’on fait passer deux plans, lun par D’ et l’autre par d , leur intersection v' sera la 
génératrice du deuxième système du même hyperboloïde. 
Ce théorème conduit à quelques propriétés nouvelles des hyperboloïdes. 
Étant donné un hyperboloïde à une nappe et de révolution, désignons par A son axe, pa 
G une de ses génératrices , par o son centre, et par a le point en lequel G coupe son cercle 
de gorge C. 
Cela posé : 
Par un point » de G menons le plan tangent T à la surface, par m ct par A un plan P, 
ces deux plans se couperont suivant une droite M; toutes les droites telles que M formeront 
un hyperholoïde S à une nappe et non de révolution , tangent à l’hyperboloïde donnné sui- 
vant G. 
La démonstration est facile : en effet,supposons un hyperboloïde à une nappe et de révo- 
lution; soit C son cercle de gorge, toutes ses généralrices du premier et du deuxième système 
£e projelteront orthogonalement sur Le plan du cercle G suivant des tangentes à ce cercle. 
Ainsi, désignant par g une tangente au cercle C; par m un point des par la tangente 
menée par le point m au cercle C ; par a le point de contact de g et C ; par b le point de 
contact de 4 et C : l’on pourra regarder get h comme les proje ctions de deux génératrices 
