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M. Olivier s'appuie sur une propriété remarquable dont jouissent les hélices, savoir : 
que le plan oscutateur d’une hélice est toujours perpendiculaire au plan tangent de la 
surface développable sur laquelle l'hélice se trouve tracce. 
Supposons une suiface développable D ayant pour arète de rebroussement une courbe E; 
sur la surface D une hélice H; en un point 2 de cette courbe sa tangente 4 et la généra- 
trice G de la surface. 
Traçons sur la surface D une des développantes e de la courbe E, et désignons par 
le point en lequel l'hélice H et la développante e se coupent, et par p le point en lequel 
la génératrice G coupe la courbe e. 
Developpons la surface développable D sur son plan tangent T mené par la génératrice 
G.Dèslors les courbes se transformeront E en E',e en e',H en sa tangente t; les deux courbes 
transformées £ et e' se coupant en un point »'; les deux courbes e et e' élant tangentes 
lune à l’autre au point p. ; 
Si maintenant l’on fait rouler le plan tangent T sur la surface D, de manière que les cour- 
bes E! ete roulent respectivement sur les courbes E ete, la tangente {, par ses diverses 
positions, formera une surface développable D' ayant l’hélice IH pour arête de rebrousse- 
ment. Le point »' décrivant dans l’espace une courbe k. 
La courbe À est une des développantes de l’hélice H, car elle coupe rectangulairement 
les diverses positions de la droite r. 
En effet. 
Considérons le plan T dans l’une de ses positions, celle où il est en contact avec la surfa- 
ce D par la génératrice G. 
Le point »? tend à décrire une courbe située sur deux shpères, l’une ayant son centre au 
point »2 et pour rayon 77/, l’autre ayant son centre au point p et pour rayon pr. 
La tangente à la courbe 2 pour le point n' sera l'intersection des plans tangens menés à 
l’une et l’autre de ces sphères pour le point »’, et il est évident que ces plans sont respective- 
ment perpendiculaires au plan T qui contient les deux centres 2 et pet le point 7'. La tan- 
gente à la courbe A sera donc perpendiculaire à la génératrice # de la surface développable D". 
Le plan tangent T'à la surface D' suivant la génératrice /, lequel sera plan oscutateur de 
\’hélice H pour le point #2, est donc perpendiculaire au plan tangent T de la surface dé- 
veloppable D pour le même point 72. 
On conclut delà que tout point d’une courbe tracée sur une surface développable don- 
nera sur la transformée un point pour lequel le rayon de courbure sera préféré, lorsque 
pour ce point le plan oscutateur de la courbe donnée sera perpendiculaire au plan tangent 
à la surface développable pour le même point. 
Pour les courbes à double courbure, le point de la transformée peut être un point d'in- 
flexion ou un point méplat( désignant par point méplat celui pour lequel la courbe est'avant 
et après le point, située d’un même côté de sa tangente). On disüingue ces points, en pro- 
jetant la courbe donnée sur le plan tangent à la surface développable; et pour cela, il suffit 
de prendre deux points sur la courbe l’un avant, l’autre après, le point qui doit se transfor- 
mer en un point d'inflexion ou méplat, et de voir si les pieds des perpendiculaires abaïssées 
de chacun de ces points sur le plan tangent à la surface développable, tombent tous les 
deux d’un même côté de la tangente à la courbe, ou l’un au dessus et l’autre au dessous. 
Dans le premier cas, la trarsformée a un point méplat, dans le second cas,un point d’inflexion, 
