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Le plan tangent au sommet du paraboloïde coupe cette surface suivant deux génératrices 
de systèmes différents qui comprennent entr’elles un angle égal à celui des plans directeurs. 
Dans le petit modèle présenté par M. Olivier, ces deux génératrices remarquables sur la 
surface sont celles qui passent par les points milieux, la première des côtés a et «', la seconde 
des côtés b et b!. De sorte que pendant le mouvement du V mobile, l’angle de ces deux fils 
varie continuellement, passant de l’angle obtus à l'angle droit, puis à l’angleaigu, pour enfin 
s’annuller , auquel cas les deux fils se superposent, les deux V se recouchant l’un sur l’autre. 
* Ce petit modéle offre l'avantage d’être peu coûteux, car il peut être exécuté en bois, et sa 
simplicité permet de le confectionner avec la plus grande facilité, sans avoir besoin de re- 
courir à un ouvrier habile (*). 
M. Olivier présente ensuite quelques idées sur les surfaces gauches en général, 
Toute surface gauche peut être regardée comme ayant deux modes de génération; dans 
le premier mode, on peut supposer la surface engendrée par une droite mobile s'appuyant 
sur trois courbes directrices fixes. Dans le second mode, on peut supposer la surface engen- 
drée par une droite se mouvant sur deux courbes fixes et pendant son mouvement devenant 
successivement parallèle aux diverses génératrices d’un cône. 
Une surface gauche peut être donnée par l’un ou l’autre de ces deux modes de génération, 
les arts en offrent plusieurs exemples. Il est toujours facile lorsque la surface est donnée par 
l’un de ces deux modes, de construire tout ce qui est nécessaire pour opérer l’autre mode 
de génération. 
Supposons une surface donnée par le premier mode, désignant par C, C', C”, les courbes 
directrices, et par G, G, G, etc., les diverses génératrices de la surface; on pourra toujours 
prendre un point arbitraire, et mener par ce point des droites g, g, g', etc., respectivement 
parallèles aux génératrices G , G', G!', etc., on formera donc un cône D; et l’on pourra dès 
lors supposer la surface comme engendrée par une droite G s'appuyant sur les deux courbes 
Cet C!, et se mouvant parallélement au cône directeur D. 
De même, si l’on a une surface gauche donnée par le second mode de génération, on 
pourra toujours la couper par un plan ou une surface de forme déterminée suivant une 
courbe C/, et dès-lors regarder la surface donnée, comme déterminée par le premier mode 
de génération, savoir : par une droite s’appuyant sur les 3 courbes C, C, C'. 
L’on sait que suivant une génératrice d’une surface gauche, l’on peut construire une in- 
finité d’hyperboloïides ou de paraboloïdes tangents, et que pour construire le plan tangent 
en un point d’une génératrice d’une surface gauche , on emploie ou l’un des hyperboloïdes 
eu l’un des paraboloïdes tangents et que l’on doit choisir celui que les données de la question 
permettent de déterminer le plus facilement. Il paraît que dans les diverses applications il 
est préférable d'employer l'hyperboloïde , lorsque la surface gauche est déterminée par le 
premier mode, et le paraboloïde lorsque la surface est au contraire déterminée par le 
deuxième mode de génération. En un mot, il paraît qu’il est préférable pour la simplicité 
= 
(*) Nous ne pouvons nous dispenser de rappeler ici les modèles des surfaces gauches de diverses natures 
exécutés par M. Bocchi, conservateur des modèles de l’École Polytechnique. Leur construction et la dispo- 
sition de leurs diverses parties sont on ne peut plus ingénieuses, et ils sont exécutés avec une grande habileté, 
ainsi que les modèles d’engrénages, 
Livraison de Décembre 1832. 24 
