( 186 ) 
des constructions graphiques, d'employer la surface la plus simple dans le même mode de 
génération, pour obtenir le plan tangent à une surface gauche donnée. 
Dans le premier mode la surface la plus simple esticelle qui est engendrée par une droite 
s'appuyant sur trois droites: c’est l’hyperboloïde à une nappe, qui a pour second mode de 
génération , une droite s'appuyant sur deux droites et se mouvant parallèlement à un cône 
du second degré. 
Dans le second mode, la surface la plus simple est celle qui est engendrée par une droite 
s’appuyantsur deux droites, et parallèlement à un plan , c’est le paraboloïde hyperbolique, 
qui a pour second mode de génération, une droite s’appuyant sur trois droites parallèles à un 
même plan. 
En ayant égard à la double génération en ligne droite dont ces deux surfaces sont suscep- 
tibles, on voit que la surface conique à laquelle les diverses génératrices du premier ousecond 
système se trouvent parallèles, est pour l’hyperboloïideun cône du second degré, et pour le 
paraboloïderle système de deux plans. 
La construction des génératrices d’une surface gauche, dans le premier ou le second mode 
de génération offre des dissemblances que l’on doit faire remarquer. 
Dans le premier mode. On prend ün point "sur la courbe C ,et on le regarde comme le 
sommet commun de deux cônes ayant pour base l’un la courbe C', l’autre la courbe C', ces 
deuxicônes se coupent suivant les diverses génératrices de la surface qui se croisent au point 
m. Ainsi pour construire les génératrices, on emploie deux cônes variables de forme, dont 
le sommet commun est mobiie sur la courbe C, et dont les bases sont fixes, 
Dans le second mode. On prend un point 72 sur la courbe C, on transportele cône direc- 
teur D, parallèlement à lui-même en D', de manière que son sommet devienne le point m; 
l'en regarde ce point »,comme lesommet d’un second cône ayant pour base la directrice C' 
et l’intersection de ce cône et du cône D' détermine les génératrices de la surface. Ainsi pour 
construire les génératrices on emploie deux cônes dont le sommet communet mobileparcourt 
Ja courbe GC, mais l’un detces cônes est invariable de forme, tandis que l’autre ayant une base 
fixe , change continuellement de forme. 
Dans les'applications aux arts on rencontre quelquefois des surfaces gauches déterminées 
par le second mode de génération, telle est, par exemple, la surface de joint du trompillon, 
dans les trompes. 
Onest obligé, pour appliquer le trait surila pierre, de cohstruire des pannéaux qui nécessi- 
tent la construction des courbes intersections de la:surface par:des plans diversément.inclinés, 
et l’on'sait que souvent, pour mieux déterminer la forme d’une courbe d’intersection, on 
construit ses tangentes. 
Ainsi il doit étreutile de savoir construire le plan tangent en un point d’une surface gauche 
déterminée par le second mode de génération. Je né sache pas que l’on $e soit occupé'jusqu'à 
présent de cetté question. 
“Je-suppose-mme-surface-gauche-donneée-par-son cône-directeur D-et-ses-deux-courbes-direc- 
wices.Cet.C, L'onyeut.en:un point d'une générarice G:.de cette surface construire le 
plautabgentiosnenc sel 
Sie dôtieD'iexistetmmegénératrice bia l& Get vi ést connue de position: 
La droite G coupe la courbe C en un point a, etla courbe C“énün point @°. 
Le 191 
+ 
