(487 ) 
Je mène les tangentes 4 à la courbe Gau point #, L' à la courbe C' au point a’, 
Il existe une infinité de paraboloïdes tangents à la surface gauche suivant la génératrice G, 
parmi lesquels il en est un qui est engendré par la droite G se mouvant sur les deux tangentes 
ter l'; Von pourrait construire ce paraboloïde, et par suite le plan tangent au point 2, si 
l'on conriaissait le ‘plan directeur Q du mouvement de la droite C. 
Remarquons que tout paraboloïdetangent doit contenir deux génératrices infiniment voi- 
sines G et G' de la surface gauche, et que le plan Q sera déterminé si l’on connait les deux 
droites G et G' puisqu'il leur sera parallèle; or , en vertu de la génération de la surface gau- 
che, G a pour parallèle sur le cône D, la génératrice g, G' aura donc aussi pour parallèle la 
génératrice g infiniment voisine de g. Tout plan tangent à un cône contient deux génératrices 
infiniment voisines ; donc en Con EE le plan T tangent au cône D suivant g, l’on aura 
le plan directeur du paraboloïde ; ainsi la droite G en se mouvant sur £ et t' parallèlement à 
T engendrera un paraboloïde tangent, à la surface donnée, suivant G. 
La considération que je viens d'employer, de deux génératrices infiniment voisines, 
conduit aussi à déterminer les divers points de la courbe de gorge d’une surface gauche 
générale. 
On appelle ligne de gorge d’une surface gauche la ligne la plus courte que l’on puisse tracer 
sur la surface, pour passer d’une génératrice aux diverses génératrices successives et infini- 
ment voisines. 
Il est évident que si l’on considère deux génératrices infiniment voisines; comme dans les 
surfaces gauches , elles ne se coupent pas, la plus courte distance entre ces deux droites sera 
l’élément rectiligne de la courbe cherchée. 
Par deux génératrices infiniment voisines Get G' d’une surface gauche, passent une in- 
Énité-de paraboloïdes tangents , tous excepté un, sont obliques , un seul est rectangulaire. 
L'on sait que, dans tout paraboloïde rectangulaire, les deux génératrices de systèmes 
différents qui se croisent au sommet, jouissent de la propriété suivante; la génératrice du 
premier système, coupe normalement toutes les génératrices du second , e£ vice versa. 
Il faudra donc construire le sommet du paraboloïde rectangulaire tangent à la surface 
gauche suivant la génératrice G, et l’on aura en ce sommet un point de la courbe 
cherchée, 
L'on pourrait, dans certains cas, employer le paraboloïde normal à la surface gauche sui- 
vantla génératrice G: car l’on sait que ce paraboloïde normal est toujours rectangulaire, 
et que son sommet est placé sur la droite G, au point en lequel est situé le sommet du para- 
boloide rectangulaire tangent, 
M. Hachette, à qui la géométrie descriptive doit un si grand nombre de solutions élégantes, 
a donné une construction remarquable du sommet d’un paraboloïde dont on connaît un 
des quadrilatères gauche (voir le. Bulletin de la Société Philomatique, 1332, séance du 
3 mars). 
La coustruction de la courbe de gorge d’une surface gauche, permettra maintenant de 
construire , en n’employant que des droites et des plans, l'axe d'un hyperboloïde à une 
nappe, AAeraiE par ses trois droites directrices. 
En effet: L'on sait construire le centre o de la surface au moyen de trois plans assymptotes 
(voir la Géométrie descriptive de M. Hachette), il suflira donc de construire les sommets 
24* 
