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On doit faire remarquer que les sections coniques doivent avoif toutes un centre} ou 
être toutes des paraboles. 
Cela posé : considérons deux surfaces du second ordre ayant un diamètre commun D, et 
ên l’une de ses extrémités un plan tangent commun T.. 
Par un point o arbitrairement choisi sur D, menons un plan P parallèle à T!, lequel coupera 
les deux surfaces suivant deux, sections coniques A et B ayant toujours un centre, etpour 
centre commun le point 0 , parce que tout plan passant par le diamètre D coupera l’une et 
l’autre surfaces , soit qu’elles aient un centre commun#soil qu’elles se trouvent deux para- 
boloïdés , suivant une courbe ayant pour corde conjuguée du diamètre D, la droite intersec- 
tion du plan P et du plan sécant, 
Ces deux courbes se couperont donc en 4 points, ou pourront se toucher en 2 points; 
désignons dans le premier cas les 4 points d’intersection par &, a', b, b'; Il est évident 
qu’ils seront unis 2 à 2 par deux droites 4b , a'b' se croisant au centre commun o. 
Je dis que les deux surfaces se couperont suivant deux courbes planes dont les plans ne 
seront autres que ceux déterminés par D et ab, D et a!b'. 
En effet : concevons par D une suite de plans sécants V, V', V", etc., coupant les deux 
surfaces, le premier V suivant deux sections coniques E et E'; V' suivant H et H'; V" 
suivant G et G3 etc., de plus V coupera le plan tangent T suivant la droite £ tangente 
commune à E et E’; V' suivant ! tangente à H et H'; V" suivant / tangente à G 
et G'; etc. 
Enfin V coupera la plan P suivant 4 parallèle à #; 
d'' parallèle à 1", etc. 
Cela posé : coupons tout le système par un plan Q parallèle au plan P. Ce plan coupera 
la première surface donnée suivant une section conique « semblable à A, et la seconde 
surface suivant 6 semblable à à B. 
Ce même plan Q coupera V suivant une droite S parallèle à d; V' suivant S' parallèle à 
d'; V" suivant S'' parallèle à d''; etc. 
Projetons maintenant les courbes et les droites situées sur les divers plans V', V!', etc., 
sur le plan V, au moyen de droites parallèles entr’elles et au plan P; on aura dès-lors sur le 
plan V, une suite de sections coniques E, E', Hp, H'p, Gp, G'p, etc., qui auront toutes 
un diamètre commun D, et en l’une de ses extrémités même tangente 4: car les tangentes 
1, 1, etc., se projéteront toutes sur {; de même les droites S', S'', etc., se projèteront 
toutes sur S. 
On pourra donc déterminer sur le plan V les deux points de concours R et R';, et il est 
évident queles cordes qui, sur le plan V ont les points R et R' pour points de concours ;isont 
les projections obliques des génératrices des 2 cônes qui uniront les courbes « et A, et des 2 
V' suivant d' parallèle à #'; V'' suivant 
cônes qui uniront les courbes 6 et B. 
Lorsque deux cônes ont même sommet ils se coupent suivant des génératrices, les deux 
cônes qui auront leur sommet en R se couperont donc suivant 4 génératrices partant des 4 
points a, b,a, b, intersections des deux courbes A et B; par conséquent les deux courbes 
zet6se Re Lt en 4 points situés 2 à 2 sur les plans (D; ab) et (D, a'b!), ©. g. f. D. 
Les deux courbes À et B, au lieu de se couper, pouvant avoir 2-points de-contact, on doit 
en conclure: que, lorsque deux surfaces du second ordre ont un diamètre commun et en 
ne 
