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l’une de ses extrémités même plan tangent, elles se coupent suivant deux courbes planes 
dont les plans se croisent suivant le diamètre commun , ou elles se touchent suivant une 
courbe plane dont le plan passe par le diamètre commun. 
Puisque deux surfaces du second ordre, concentriques et en contact par deux sommets 
opposés, ont toujours pour courbe de contact, une courbe plane, on pourra construire la 
tangente en un point de la courbe de contact de deux surfaces quelconques, lorsque pour ce 
point, l’on connaîtra pour l’une et l’autre surfaces, et les rayons de courbure maximum et 
minimum, et la direction des lignes de courbures. La solution de cette question est due à 
M. Hachette, qui l’a donné à la Société philomatique dans la dernière séance, en s'appuyant 
sur le théorème qui vient d’être énoncé. 
M. Hachette dans un supplément à sa géométrie descriptive, publié en 1824, a donné la 
construction du point de la courbe de contact d’une surface développable et d’une surface 
courbe, pour lequel la génératrice de la surface développable devenait la tengente de cette 
courbe de contact. 
Par la considération de deux surfaces du second ordre, concentriques et osculatrices, on 
arrive à la solution de cette même question, mais par une marche différente. 
Dans le cas où l’une des surfaces données est développable, comme alors sa surface 
osculatrice est un cylindre, on voit: qu'en désignant par R et r les rayons de courbure de 
la surface courbe, et par p le rayon de courbure de la surface développable, il faudra prendre 
sur la normale N à la surface courbe pourle point 72 de la courbe de contact, une grandeur 
arbitraire m0 — ce, et dans le plan P mené perpendiculairement à N par le point o, 
construire une ellipse , si les rayons de courbure R et 7 sont dirigés dans le même sens, 
ou une hyperbole , siles rayons de courbure R et 7 sont dirigés én sens opposés; cette courbe 
ayant son centre en o et ses axes a — Wck et b=wyer dirigés dans les plans des sections 
principales de la surface courbe; puis mener deux tangentes à cette courbe parallèles 
entr’elles et à la génératrice G de la surface développable qui passe par le point 72 etsuivant 
laquelle le cylindre osculateur en 2, se trouve tangent à cette surface. Ces deux tangentes 
seront distantes l’une et l’autre du centre o d’une même quantité, qui sera d — Ver. Ces 
deux tangentes auront deux points de contact x et n', avec la courbe ellipse ou hyperbole, 
lesquels seront unis par un diamètre D de cette courbe, et qui sera sur le plan P la projection 
orthogonale de la tangente cherchée. 
d variera avec p ; mais comme d ne pourra jamais être nul, sila courbe tracée sur le plan 
P est une ellipse, et que d pourra devenir au contraire nul si la courbe est une hyperbole, 
auquel cas les deux points de contact » et »/ seront transportés à l'infini sur les branches de 
lPhyperbole; auquel cas le diamètre D deviendra une assymptote de la courbe, et sera alors 
sur le plan P la projection orthogonale d’une des deux génératrices de l’hyperboloïde 
osculateur , lesquelles se croisent au sommet 72; on voit que lorsque la surface courbe a ses 
rayons de courbure dirigés en sens opposés, la tangente au point 2 de la courbe de contact, 
sera une génératrice g de l’hyperboloïde osculateur , si pour ce point »2, le rayon de courbure 
p de la surface développable se trouve nul. 
Ensuite, comme les deux tangentes à l’hyperbole sont parallèles à la génératrice G de la 
surface développable, suivant laquelle le cylindre osculateur est tangent à cette surface, 
on voit que lorsque p —0 , ces deux tangentes se confondant avec l’assymptote, le cylindre 
