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Get H de la surface et des systèmes différents, et le point »m comme la projection du point M, 
intersection de G et H. 
Le plan T passant par G et H sera tangent à la surface au point M, et aura pour trace 
sur le plan de gorge la droite « b. 
Si par l'axe de la surface et par le point M on fait passer un plan Q, il aura pour trace la 
droite o m, désignant par o'le centre du cercle C. Les deux plans T et Q se couperont sui- 
vant une droite qui percera le plan de gorge au point n, intersection des deux traces a b 
et o m. 
Faisant la même construction pour tout autre point de G, on voit que toutes les droites 
celles que M perceront le plan de gorge en des points situés sur un cercle ayant pour dia- 
mètre le rayon o a du cercle C ; et en vertu du théorème énoncé ci-dessus, on peut conclure 
que la surface gauche engendrée par les droites telles que M est un hyperboloïde à une 
nappe. 
On voit de suite que l'axe A sera une génératrice de la surface S et du même système 
que M. 
Que le centre de la surface 5 sera le milieu de la droite o a, et que cette surfacesera coupée 
par le plan du cercle C suivant un cercle c' ayant pour diamètre le rayon o 4. 
L’axe A’ de l’hyperboloïde S, fera avec l’axe À un angle moitié de celui que font entre 
elles les droites À et G. 
Pour chacune des génératrices du premier système de l’hyperboloïde donné, on aura un 
oyperboloïde tangent analogue à S. Tous ces hyperboloïdes seront égaux. 
De sorte que leurs axes A’ formeront les génératrices du premier système d'un hyÿperbo- 
loïde S’ à une nappe et de révolution ayant pour axe l'axe À et pour cercle de gorge un 
cercle c''concentrique au cercle € et ayant pour rayon la moitié de o a. 
Pour chacune de ses génératrices du deuxième système, l’hyperboloïde donné aura aussi 
un hyperboloïde tangent , égal à S et dont l’axe A" sera incliné en sens inverse ; de sorte 
que tous les axes A" seront les génératrices du deuxième système du mème hyperboloïde S’ 
trouvé ci-dessus. 
Remarquons que la droite M divise en deux parties égales l’angle que font entre elles les 
deux génératrices se croisant en m sur l’hyperboloïde donné , et que la droite N menée per- 
pendiculairement à M et située dans le plan tangent sera parallèle au plan du cercle de 
gorge. De sorte que Por peut déduire de là, un procédé graphique simple pour résoudre la 
question suivante : À quel caractère géométrique peut-on reconnaitre, qu'un hyperboloite donné 
par ses trois droites directrices, est ou non de révolution ? 
Désignens par D, D', D", les trois droites directrices, concevons une génératrice G de la 
surface coupant D au point m, D'au point m', D''au point m". 
Désignons par @&; @', œ'", les angles que la génératrice G fait respectivement ; mais du 
même côté, avec les trois directrices, par 6, 6’, 6 les suppléments de ces angles. Conce- 
vons les trois plans tangents (D, G ) en m,(D',G )enm' (D, G ) en mm", et traçons dans 
chacun de ces plans deux droites divisant en deux parties égales les angles 4, x', x! et leurs 
suppléments. 
