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Désignons par g, g', g'! les droites qui divisent respectivement en deux parties égales les 
a', oœ" et par 4, k' h”, celles qui diviseront les angles supplements GG 6: 
Si les trois droites g, g', g'', ou si les troïs droïtes. 4, k', À''sont parallèles à un même 
plan, la surface sera de révolution; si lun et l'autre des deux systèmes-de droites neise 
trouvent pas parallèles à un plan, la surface ne sera pas de révolution. 
On peut encore résoudre le même problème au moyen des considérations géométriques 
suivantes. 
Lorsque l’hyperboloïde est de révolution, son cône asymptote est aussi de révolution; 
ou peut donc dans ce cas construire une sphère, qui ayant son centre sur l’axe du cône, 
lui serait tangente suivaot un cercle dont le plan seraïè perpendiculaire à cet axe. 
Tous ies plans tangents au cône sont des plans asymptotes de la surface donnée-et con- 
tiennent chacun deux génératrices de systèmes différents et parallèles entre elles. Dèsdors : 
ayant lestrois directrices D, D', D" de la surface, on construira les trois génératrices G 
parallèle à D, G' parallèle à D' et G'' parallèle à D''; les trois plans (G, D), (G', D'), 
(G", D") seront trois plans asymptotes de la surface se coupant au centre o de la surface. 
(Tous les plans asymptotes passent par le point o. ) Sidu point o comme centre et ayec un 
rayon arbitraire, on décrit une sphère S et qu’on lui construisetrois plans tangents respecti- 
vement parallèles aux trois plans asymptotes ; ils se couperont en ‘un point 0’, qui sera 
situé sur l’axe de la surface, si elle est de révolution ; (cette construction permet de cons- 
lruire avec facilité l'axe de la surface, lorsqu'elle est de révolution.) Si maintenant on 
construit une géuératrice quelconque g de la surface et la génératrice du deuxième système 
le qui lui est parallèle, le plan (g, k) sera un plan asymptote; construisant à là sphère S un 
plan tangent parallèle à (g, h) ce plan passera par le point o', si la surface est de révo- 
lution : ainsi tous les plans tangents à la sphère S, et respectivement parallèles aux plans 
asymptotes de la surface se couperont en un même point, lorsque la surface sera de révo- 
lution ; et cela n'aura pas lieu, si la surface n’est pas de révolution. hs 
Cette solution a quelque analogie avec celle indiquée par M. Hachette. 
he 
angics Hs 
Si l'on remarque, 1°.qu'étant donné-un cercle Get une série de cercle c', c'', etc, passant 
par son centre o.et qui lui sont respectivement tangents aux points a', a, etc., si l’on pro- 
jette obliquement tout le sytème,lecercle G se transforméraen une ellinse E, et les cercles 
c',c'!,etc., en des éllipses e', e/', etc. ; de telle sorte que, 1° les ellipses e', e'', etc., etE 
seront semblables ( leurs axes étant parallèles ). 2° Toutes les ellipses e’, e”, etc. , passeront 
par le centre de E et seront respectivement tangentes à E, le centre de chacune d'elles étant 
sur les droites unissant le centre de l’ellipse E et le point de contact. 
Si l’on remarque , 2° qu’étant donné un hyperboloïde à une n’appe, et Pan de ses diamè- 
tres réel B ou imaginaire: B', et le plan conjugué : de B ou P'de B , le plan P coupera 
la surface suivant une hyperbole, H et que le plan P'1la: coupera suivant une ellipse E, que 
lecylindre tangent à la surface suivant H aura ses s;énératrices parallèles à B,.et que celui qui 
sera tangent suivant E, aura ses génératrices pärallèles à B! et que dès lors toutes les géné- 
ratrices de la surface se projetteront obliquement sur P au moyen de lignes projetantes 
