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un point A; menons la corde a À; puis par un point fixe 4, arbitrairement choisi sur le plan 
de la courbe, menons la droite b m; les Ceux droites # m et a A se couperont en un point 
p. Faisons la même construction pour les divers points de la tangente t, tous les points tels 
que p, sont situés sur une section conique S tangente à la courbe C au point a et passant par 
le point fixe b. 
Supposons mmintenant une section conique C’semblableetconcentrique à C, les deux tan- 
gentes t et T la couperont en deux points & pour t et A’ pour T et la corde a A? sera 
parallèle à a À, si l’on prolonge la droite 4 m, elle coupera la corde &’ À en un point p’ qui 
appartiendra à une section conique S’ passant par le point fixe b et le point a et tangente à 
la courbe C’au point à. Les deux sections coniques S et S? seront semblables et auront 
leurs axes paril'èles. La droite £ coupe aussi C’ en un point a” et la droite T coupe encore 
C’ en un point A”, la corde a° A” est parallèle aux cordes a A et «’ A’; si l’on prolonge la 
droite b m elle coupera «&” A” en un point p” qui appartienära à une section conique S” 
passant encore par les points b et a, mais tangente à C’ au point a”. S, S’, S” seront des 
courbes semblables et semblablement placés ayant pour corde commune la droite a b; toutes 
les sections coniques S, S’, S”, cte., seront enveloppées par une section conique R. 
On pourra regarder les deux courbes C et €’ comme les projections obliques de sections 
parallèles faites dans un hyperboloïde à une nappe, et les courbes S et S’ comme les projec- 
tions obliques, et par le même système de projection, des sections faites par les mêmes plans 
parallèles dans la surface gauche, lieu des droites déterminées de la manière suivante. 
t représentant la projection oblique d’une génératrice de la surface donnée; m la projec- 
tion d’un point M de cette génératrice; T la projection d’une génératrice du deuxième 
système, le plan (t, T) sera tangent à la surface au point M et aura pour trace sur le plan 
de la courbe C La droite a A; la droite  m représentera la trace d’un plan passant par la 
droite projetée cbliquement suivant le point 6 et par le point M projeté obliquement en m, 
ces deux plans se couperont suivant une droite B projetée suivant Ÿ m et percant le plan de 
la courbe C au pointp et le plan de la courbe dont C’ est la projection oblique au point dont 
p’ est aussi la projection oblique. 
Les surfaces du deuxième ordre sont les seules qui soient coupées par des plans parallèles 
suivant des courbes semblables; les deux sections parallèles S et S’ étant semblables, la 
surface gauche, lieu des droites!B, sera un hyperboloïde à une nappe qui sera enveloppée par 
un cylindre dont les génératrices étant parallèles à la direction des lignes projetantes obli- 
ques. aura pourtrace sur le plan de la courbe € la section conique a. 
Ce inode de démonstration pourrait être appliqué aux théorèmes précédens sans avoir 
besoiu de recourir au théorème énoncé au commencement de celle note, et ce théorème 
lui-même peut être facilement démontré par celte méthode fondée sur les propriétés des 
projections obliques. x 
D'après ce qui précéde on peut donc énoncer les théorèmes suivants. 
1° Étant donné un hyperboloïde à une nappe et une droite arbitraire D; menons, par le 
centre de la surface une droite d parallèle à D, et le plan P conjugué de d ( ce plan coupant 
la droite D en un point # el la surface suivant une section conique ellipse ou hyperbole H }; 
prenoos une génératrice G de la surface ( perçant le plan P au pointb) eten un de ses points 
m construisons Je plan tangent T ; par le point m et Ja droite D, menous un plan Q, les 
