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cbaque z^ro infermdcliaire le premier signe exlreme qui est connu, ce 1 o20. 



giii (lonne a la secoude suite le moindre notnbre possible de changemeuts 

 de signe. 



Jl suit n^cessairement de cette maniere de former les deux suites, 

 1° que si le nombre de 7.6ros intermediaires est pair, la premiere suite 

 qui r^pond k <^ (Z pr^sente un nombre A de cbangements de signe plus 

 grand que le nombre k de cbangements de signe compt^s dans la se- 

 coude , et que la difft^rence /i — A' est un nombre pair. 20 Que si Je nom- 

 bre de zdros intermediaires est impair, le nombre h de cliangements de 

 sjgue de la premiere suite peut, dans un seul cas., eire ^gal au nombre k 

 de cbangements de signe de la seoonde, mais que, dans tons les autres, 

 h est plus grand quek,, et que la difference h — k est encore un nombre 

 pair. 



Aiasi cette difl'^rence h — k ne peut etre ni negative, ni un nombre 

 im,pair; il est nffcessaire quelle soit un des nombres o, 3, 4, 6, etc. 



Mais si les fonclions differentielles consecutives qui s'evanouissent 



{lar la substitution de a comprennenl la dcrnierc ®.r, on conclut faci- 

 ement des remarqucs precedentes, que ie nombre h des chaugements 

 de signe de la premiere suite surpasse le nombre k de cbangements de 

 signe de la seconde, et que la difference h — k, qui alors peut etre 

 un nombre pair ou impair, est toujours egale au nombre des Ibnctions 

 extremes qui s'evanouissent. Or I'equalion proposee a dans ce cas, seloti 

 le theoreme de tluddes, aulant de racines egales au nombre a qu'il se 

 irouve de ces fonctions extremes qui s'evanouissent; done la suite (x) 

 des signes pcrd dans co cas aulant de cliangcments de signe que I'equa- 

 tion a de racines reelles cgales au nombre a. 



Enfin on pourrait supposer que le nombre substilue a I'ait cvanouir 

 plusieurs fonctions diflcrentielles, ou intermediaires, ou extremes, et 

 qu'ii rend nulles en meme temps d'autres fonclions dans differentes 

 parties de la meme suite separees les unes des autres par des fonctions 

 lion evanouissantes : dans ce cas on connaitrait le nombre total de cban- 

 gements de signe que la suite (a) a perdus, en ajoutant les dirers re- 

 jsultats dounes par les regies precedentes. 



Ayant done enumei-e toutes les consequences possibles de la substi- 

 tution d'un nombre croissant a, nous sommes parvenus a la demonstra- 

 tion du theoreme general dont voici I'enonce. 



(m) (m— 1) " ' 



SiVon forme la suite des fonctions'^ ,X , X , X , X, 



far la differentiation da premier menihre de V equation X=:o, et si 

 •ayant substitue dans ces fonctions un meme nombre a, on remarqne 



combien il y a de fois ^ o// ■ [- dans la suite des resultats des 



substitutions, le nombre des cbangements de signe de la suite sera 

 d' au tan t plus grand, que la valeur suhstituee a sera moindre. 



Hi I'on donne au nombre a une valeur continuellemem craissante 



