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on trouvera la valeur — ^ ce (jiti se reditit a prendre le quotient 



<p a 

 de deux quantites deja connues. Si ce quotient est moindre que hi diffe- 

 rence b — a des deux limites , on ■sera assure quil manque deuoc racines 

 dans I'intervalle de a ah; dans ce cas on retranchera 2 de cliacun des 



ternies de la suite S , a partir de cehii qui repond ii (p (x) jusqu'au 



dernier ternie a droite qui repond a \, el Von conservera les valeurs pre- 

 cedemment tivuvees pour les termes de cette suite S qui sont a la gauche 



(n — 1) , 



« e 9 x; cela elant, on aura une nouvelle suite S pour ce mcnie inter- 



valle compris entre a et b. On continuera done l application litterale de 

 la presente regie, et en operant ainsi , on parviendra promptement, et sans 

 aucune incertitude , d. la separation de toules les racines. 



>iOus n'examiuons point ici les cas singulicrs oil les functions Hif- 

 ferenlielles ont des facteurs communs, parce qu'ils se resolvent faci- 

 Icmenl au rao}'en des theoremes couiius sur les racines eiiales. 



(»-'Y , 



Au lieu de substituer I'une des limites a dans Vexpression r^, , 



on pout aussi substituer la plus grande limite b, et comparer le quo- 

 ta— ii 



<P (I') , . ., 

 tieut -j a la diScrcnce b — a. Si ce quotient u'est pas moindre 



^ (^) 

 que i — a , on est assure qu'il manque doux racines dans rintcrvalle; 



enfin on tirerait encore la meme conclusion, si la somme des deux 



<f> 1 '0 <? W , , ■ • , , 



quotients rr et -J 7-: n etait pas moindre que b — a. 



© a <p (b) 



Ainsi toutes les Jots que la difference b — a des deux llmiles nest pas 



plus grande que la somme des deux quotients , on est assure que deux 



racines manquentdans I'inlervalle , ct qu'elles correspondent a. deux 



racines imaginaires dans V equation X ^ o. Au moyeu de ce carac- 



tere ct de la subdivision des intervalles, on arrive udcessairement a 



distinguer toutes les racines. C'est pour effectiier cette distinction , f)ue 



MJM. Lagrange et Waring ont propose aulrctois d'cmployer I'^qualion 



dont les racines sont les difierences des racines de I'^quation donnce , 



et cette solution cousiderde en elle-meme est exacic; mais dans le plus 



grand nombre de cas, elle ne pcut elre d'aucun usage. I.es diflicuht's 



pvopres a cette derniire miflhode sont trop connues pour qu'il soit 



necessaire de les rappeler; celle que nous venons d'exposer, conduit 



imm^dialemenl a la designation des limites des racines. Nous pourrrions 



