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vement deux uombies a el b, et si les deux resuUals A cl B dc ccs 1820, 



substitutions out des signcs diff^renls, 1 equation X =: o a ;iu nioins 

 une racirie r^elle comprise enlre lesliinitcs a etb. J .e nombre desracincs 

 reclles comprises entre ces memes limites pourraitetre i,ou 2, ou 3, on 

 un notnbre impair quelconque. ^i au coutraire les deux resultais A el 1;! 

 oiil le nieniesigue, I'equation peui avoir uu nombre pair de niciues 

 reelles eutre les liruiles a et h, et il peut arriver aussi fju'il n'y ait aucune 

 racine entre ces memes nombres. II suit de ces propositions, qui sont 

 drmontrees dans lous les Iraitcs ^lementaires d'algebre, que la substi- 

 luliou des deux nombres proposes a et b dans la fouction X ne S'ufJit 

 point pour faire connailre combien i'equalion a dc racines comprises 

 entre ces tieux nombres. 



Pour resoudre celte derniere question, il est necessaire de sub- 

 slituer ces deux limites a et b dans la fonclion X et dans les fonclions 

 X', X", X'", X''', etc., que Ton en d&luit par des diffisrentialions 

 successives. 



1,'objet de cette note est d'exposer la methode que I'ou doit suivrc 

 pour determiner les limites des racines , en substiluant ainsi <livers 

 nombres dans les lonctious difterentielles, et d'ajouter a cette meliiode 

 une regie sp^ciale pour distinguer i'acilement les racines imaginaires. 



Supposons done que Ton considere les fonctions suivanles X, X, 



— — X, — r-r X, etc., et qu'on les derive foules daus I'ordre inverse, 



. . . X''^, X'", X", X', X, la derniere X dlant le premier membro de la 

 pruposde. Le nombre des fonctions i^crites est /« + 1 , si le degre 

 de ('equation est 7/2, et la premiere fonction est un nombre constant 

 positif. 



Jii I'ou substitue un nombre a dans la suite des fonctions, et si Tod 

 dcrit le signe +, ou le sigoe — de chaque resuitat, on lormera une 

 suite de signes que nous designeronspar (aj; substituant aussi vn nombre 

 b plus grand que a, daus la meme suite des fonctions, et remarquanf 

 les signes des resultats, on formera une seconde suite de .signes, que 

 nous d^siguerons par (/S). Cela pos^, on examiuei'a combien dans la 

 premiere suite de signes (a) il y a de changemenls de signe, en passant 

 d'un terme a un autre, c'est-a-dire combien de I'ois dans cetle suite il 



arrive que deux signes voisinssoiit -| ou }-• On examinera aussi 



combien il y a de ces cbangemens de signe dans la seconde suite (/S). 

 On comparera sous ce rapport les deux suites de signes (a) et (B) , et 

 Ton deduira de cette comparaison les consequences suivanles, que nous 

 allons d'abord dnoncer, et dont nous donnerons eusuile la demonstration. 



1°. Siles deux suites designes (x) et (B) ontun egal nombre de cliao- 

 gemcnls de signe, il est impossible que I'equation X = o ait aucune 



