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raciiie enlrc Ics Jimltes a et b, en sortc qii'il serait enticrement imililo 

 de clicrcher des racines dans cct inlervallc. 



a". I,a seconde suite ne pent, dans aut;un cas, avoir plus de clian- 

 gen^ent de signe qu'il n'y en a dans la premiere. 



3". Si dans la seconde suite il se trouve un seulcliangement de sigue 

 de nioins que dans la premiere , la proposee X = o a line racine reelle 

 comprise entre a et b, et il ne pent pas y avoir phis d'une racine dans 

 cet infer lalie. Dans ce cas, la racine comprise entre a el b est enlic- 

 rement separ6e de toutes les aiitres. Alors il est facile do proceiicr a 

 la rccherclie de cette racine, soit par la melliode e.xcgclique de Viele, 

 ()U par la regie des f'raclions continues de Fontaine et de Lagrange, 

 ou en laisant usage, comme i)aniel Eernouilli et Euler, des series 

 rdciirrcntcs, ou enlin, et par la voie la plus courte, en suivant la m^- 

 tbode d'approximation de Newton, a laquelle il est n^cessaire d'ajoufer 

 les remarques que nous avons publi^es dans ce rccueil. lin general, 

 I'emploi de loute m<?lhode d'approximation suppose que la racine 

 cherchce est separee de toutes les autres, c'est-a-dire que Ton connait 

 deux limiles a et b , entre lesquelles la proposee ne pcut avoir que cette 

 seule racine. 



/(". JSi dans la premiere suite on compte un plus grand norabre de 

 changemenls de signe que dans la seconde, el si I'exces du premier 

 nomisre siir le second est 2, I't^quation X = o peut avoir deux racines 

 entre les deux limites a et b; il peut arriver aussi que ces deux racines 

 soient iraaginaires. I.e sens exact de celto dernicre j)roposi(ion est que 

 si Ton peut s'assurer, d'une maniere quelconque, qu'il n'y a aucuii 

 nombre compris entre aetiqui rende nulle la t'onclion X, il est cer- 

 tain que cette equation a au moins deux racines imaginaires. 



l.a diflerence des deux nombres de changemenls de signe dans Ics 

 suites («) et (B) elant suppos^e 2, il est iiecessaire qu'il y ait deux 

 racines reelles dans I'intervalle de (Z h. b, ou qu'il n'y en ait aucune ; il 

 est impossible qu'il y en ait une seule. On doit done , dans ce cas , clier- 

 cher deux racines entre les limiles proposees; et si ces racines man- 

 quent dans cet intervalle, elles manquent aussi dans I'dqualiou. 



' 5°. Si dans la premiere suite (a) on compte trois changemenls de 

 signe de plus que dans la seconde suite (&); il y a necessairemcnt tine 

 racine riSelle dans Tinlcrvalle de ahb; ii ne peut pas y en avoir deux, 

 niais il peut y en avoir trois; el s'il n'y en a pas trois, les deux (|ui 

 manquent dans I'inlervalle manquent aussi dans I'equalion. 



En general , la proposee ne peut pas avoir dans I'intervalle des limites 

 a et b plus de racines qu'il y a d'unilcs dans I'cxccs du nombre des 

 ( hangemenls de signe de la suite (x) sur le nombre des changcmeiiLS de 

 signe de la suite (iS); nous designons par/' cki execs, ou ditlerenca 



