eutre les tleiix uombres de changemeuts lie sigfie des deux suites. Si lo2o. 



(laus I'inlervalle de a a b I'equation n'a pas un nombre de racines roelles 



«?gal a y, celles qui manquent sont en nombre pair 2/5 ellcs corrcs- 



poncient a un [)areil nombre i>i de racines imaginaires (pii manquent 



dans l'd(|uation proposeej ainsi le nombre des racines iniati,iiiaires de 



i'equafion est loujours egal au nombre des racines qui nianqucut clans 



tons les intervalles. 



II dtait uecessaire d'expliquer en ces termes la proposition generate 

 que nous voulons demontrer, pour I'aire connaitre distinctement son 

 usage dans la rccherrbe des limiles des racines. On voit cpie ccHe regie 

 indiqne avec precision les intervalles dans lesquels on doit ehcrcber les 

 racines, et le nombre des raci/ies qu'il jieut y avoir. En ellet, si le nom- 

 bre / est zero, c'est-a-dift si dans la suite («), on ne compte pas plus 

 de changements de signe que dans la suite (£), I'intervallc des nombres 

 a el b est un de ceux dans lesquels on ne doit chercber aucuue racine. 

 Unc metbode d'approximation qui couduirait a diviscr de pareils inter- 

 valles en moindres parties, dans la vue d'y decouvrir quelqnes racines, 

 serait par cela memo extremement imparl'aite. C'est ce qui arrive lors- 

 qu'on precede a la separation des racines, en substituant clans la pro- 

 posee une cjuantite moindre cjue la plus petite diflerence de ces racines. 



La proposition geu(5rale que Ton vient d'enoncer n'est autre cbosci 

 qu'une extension da theoreme qui exprime la relation connue entre le 

 nombre des racines positives d'une Equation, et le nombre des chan- 

 gements de signe que prescnte la suite des coelHcients, et cetle appli- 

 cation de la regie dc Descartes se prdsenic d'elle-meme dans la re- 

 cherche des limites des racines. En effet, si Ton dimirnie d'une certaine 

 quantity positive a toutes les racines d'une equation, en substituant 

 .t' 4- a au lieu de x , et si Ton remarque que I'equation en .r' n'a 

 plus dans la suite de ses coefficients aulant de changements de signe 

 qu'il y en avait dans I'equation en x, cette diiiercuce indique combien 

 on doit chercber de racines dans I'intervalle de o a a; or, le calcul de 

 la transformce en .r est le meme que celui de la substitution de a dans 

 les f'onctions diH'erentielles (*). Ce precede est bcaucoup plus simple 

 que celui de la mcthode des cascades , d'ailleurs incomplete et 

 confuse. 



J.a proposition gencrale que nous avons rapportee pent etre deduite 

 du theoreme de Uesiarles; elle pcut aussi etrn dcfmontree du'eclement, 

 commeil suit, et alors ce tbdorcime en devient une consequence ncces- 



(') Algebre laline <le Hales, Dublin. 1784. 



Recherclios Je M. Biidaii; ile I Uuiversile de France. 

 Resolution des eijuationa miiuejKjues de Lagrange. 



