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saire. CoKe cleinonslralion est celle qui a etii donoee aulrefois dans les 

 coursd'aualyse cic I'iicole Polj technique : elle n'avait point encore 6l6 

 imprimee. 



Demonstration. 



T^ 8i dans la suite (c) des fonctious ...X''', X'", X", X', X, on 

 siibslilue uuo quanlile negative — a, et si le uonibre a est infiniment 

 grand, lous les r(5sul(als de la substiluliua seront alternalivcment po- 

 sitifs et n^gatifs, en sorte que dans la suite («) il ne se trouveia que des 

 changements de signe. En eff'et, I'equatiou X = o ^tanl du dcgrd m, 

 la premiere i'onclion de la suite est 1.2. 5... m; la scconde est 

 3.3.4---WX; la troisieme a pour premieP'terme 5 . /^ . . .Jfix'; la 

 quatrieme a pour premier terme 4 . . . mx^, ainsi de suite. Done le nom- 



bre substitue ^tant , les signes des r^sultats sent H 1 i , 



etc. II ue pent y avoir que des changements de signe dans la suite (a), 

 le nombre de ces changements est m. 



2". Si le nombre substitu^ a est -i , tous les resultats out Ic sicne 



o ° 



+ , et il ne reste aucun changement de signe dans la suite (a). 

 5". Si le nombre substitud a, qui est d'abord egal a , angmeute 



par degr^s infiniment petits, depuis jusqu'a + — , il deviendra 



successivement ^gal a chacune des racines reelles que peut avoir I'e- 

 quation X = o , et nous allons prouver que lorsque a deviendra dgal a 

 uue de ces racines, la suite (cc) perdra un changement de signe. 



En efiet, le nombre a augmentant par degres insensibies, lasuile (x), 

 qui ava it d'abord tous ses signes alternatils, s'altere progressivcmentj 

 clie ne peut commencer a subir quclque changement , que si le nombre 

 subsfitud a fait dvanouir une des fonctions . . . X''', X'", X", X', Xj 

 car aucune de ces quantitds ne peut changer de signe si elle ne devient 

 d'abord nulle. J I se presente ici deux cas diflercnis : le premier a lieu 

 lorsque la substitution du nombre a fait dvanouir la derniere function X , 

 c'est-a-dire lorsque le nombre substitu^ est une des racines rdelles de 

 I'dquation ; le second cas a lieu lorsque la subslifniion de « rend iniilo 

 ime des fonctions intermddiaires, telles que X''', X'", X", X'. On 

 j)ourrait aussi supposer que le meme nombre a fail cvanouir a-!a-fols 

 plusieurs de ces ionctionsj mais nous ferons d'abord abstraction de ce 

 cas singulicr, parce qu'il suppose entre les fonctions une cerlainc re- 

 lation (jui n'a point lieu en general. 



