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Dans Ic premier cas, c'est-a-clire lorsque la valeiir de X est la seulc l u20. 



qui devlcuue nulle, le signe dii dernier resultat dans la suite (a) est 

 remplac(5 paro. Si le resultat de la substitution cle a dans la function 



pr(f'cedente X' est +, la suite (<x) est ainsi terminee + o. Conce- 



vous maintenant que I'on subslitue au lieu de a deux nombres infiniment 

 j)eu differenis, I'un tnoincire que a , et I'autre plus grand C|ue a, il est 

 facile de voii- que la suite (<z) aura pris trois elats successit's indiques 

 par la' table suivante (i^ : 



<a + - 



a + o 



>« + + 



(I), 

 c'est-a-dire que las deux derniers termes de la suite'(a), donnee par la 

 substitution de a, ^(ant par livpothuse + o, les deux derniers termes de 



la suite qui repond a <^ a sont necessairemeut -\ , et que les deux 



derniers termes de la suite qui repond i\ "^ a sont + +• Cette conse- 

 quence se prouve comme il suit : 



De'signant la fonction X par (px, et X' ou — — X par (p'X, et u 



^lant une quantile infiniment petite, on a <f> (a — w) = (pa — w <p' a, 

 «fi (a + u)= <pa + a !>' (a). Or, par hypotbese, <p (a) est nulle, et <p' (a) 

 est positive. Done la substitution du nombre <^a donne un resultat 

 uegatif, savoir, — a ,{>' (a). Quant au nombre^a, il donne, par la 

 substitution, un resultat afl'ecle du signe +, savoir -\- u ip' a. 



Done la suite de signes (oi) , en prenant les ^lats successits qui re- 

 poudent a <^a , a,'^a, a perdu un changement desigue, la succession 

 -j- — etant deveuue + o et + +. 



]1 en sera de meme si le resultat de la substitution de a dans X' donne 

 lesigue — . En eflet, la valeur <p' (a) est alors negative; done <p (a — co), 

 ou — a<p' (a), est une quautite positive, et <p(a-\-o}, ou u(p'(a), est 

 une quantity negative: done la table precedeute (i) est remplac(^e par 

 la table (2} 



<a 1- 



a — o 



>« -- . 



On volt par-la que la suite des signes (x) a perdu un changement 

 de signe, lorsque le nombre substitu6 a pass^ par la valeur a, qui fait 

 (5vanouir la derniere fonction X. 



II est done ddmontre que la suite des signes (tx) perd un changement 

 de signe toutes les fois que le nombre substilu^ devient egal a I'uue 

 des racines reelles de la proposee. 



Lwraison de noi'emhre. 2i 



