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rn sorte que la suite (a) cics signes n'aura perdu aucun chaiigcmeut l8ao. 



tie sigiie. 



Mais si la (roisieme fonclion douue le signe — , on aura la table 

 Euivanle (6) : 



<a _ -f _ 



a — o — 



>a ~, 



ce qui prouve que la suite («) des signes aura perdu deux changeinenls 

 de signe. 



Aiusi le nombre a que Ton substitue dans la suite des fonctions, pre- 



nantsucccssivement loutes lesvaleurs possibles depuisa = jusqu'a 



o 



a =z -j , la suite («) des signes des r^sultats ne demeure pas la meme; 



elle s'altere de la maniere suivantc. 71 ne pent y survenir de cliangemcnt 

 que lorsque le uombre a luit evauouir une des Ibnclions. Si ce nombre 

 devient 6gal ;i une racine rdelle de la proposee, la suite (a) pcnl un 

 changement de signe. Si la fonction qui s'evanouit n'est point la der- 

 niere X, mais une des fonctions intermediaires, la suite (a) conserve 

 tous les changements de signe qu'elle avait auparavant, ou elle en 

 perd deux a la iois. Par consequent cetle suite ne pent point acqudrir 

 de nouveaux changements de signe a mesure que le nombre a augmcnte, 

 elle ne peut qu'en perdre, et c'est ainsi qu'elle passe progressivcmcut 

 de son premier ^lat, ou Ton conipte m changements de signe, a son 

 dernier 6tat ou elle n'a plus aucun changement de signe. On ddduit 

 de ces remarques les consequences suivanles. 



Si la proposee X = o a toutes ses racines r^elles en nombre w, il 

 arrive n^cessairement un nombre m de Ibis qu'elle perd un seul chan- 

 gement de signe 3 et comme le nombre total des changements dc signe 

 qu'elle peut jierdre estw, il s'ensuit que les valeurs de a qui font eva- 

 uouir une des fonctions intermediaires, ne donnent lieu a aucune di- 

 minution de nombre des changements de signe. Ce nombre se conserve 

 lorsque la valeur de a rend nuUe une des fonctions intermediaires, et 

 il diminue d'une unite lorsque cetle valeur de a rend nulle la dernicre 

 fonclion. 



Si la proposee am — 2 racines reelles et deux racines imaginaires, 

 il arrive un nombre de fois egal aw — a que la suite (*) perd une 

 seule racine reelle, et par consequent il arrive sculement une fois que, 

 la valeur de a faisant evanouir une fonction intermediaire, deux chan- 

 gements de signe disparaissent ensemble. 



En general, si la proposee a un nombre J7i — 2/ de racines redles, 

 et uu uombre 21 de racines imaginaires, il est evident que rti — 21, 



