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tbangemeuls de sigue, disparaissent un a iin dans la sui(e (ec) , et par 

 consequent i! arrive un uombrc de fbis (^gal a 2/ que la valctir de a 

 faisant evauouir iine fonclion inlerni^diaire, deux changcaients de signe 

 disparaissent ensemble. 



Nous avons suppose jusqu'ici que le nombre subslitue ue fait pas 

 evanonir en meme temps deux ou pluEieursloactions dift'erenticlles, mais 

 seulement une de ces Ibnctions. On pourrait se dispenser de considci'cr 

 les cas oil uue meme valeur a, subslituee nii lieu de jo, rend nulles 

 plusieurs ibnctions a la fbis : car ces valours singulicrcs du nombre sub- 

 stilue u'auraient plus la meme propriete, si les coelKcientsde la propost^e 

 subi.'^saient un changeraent infiuiment petit. IMais comme il s'agit ici des 

 principes elementaires de I'auaiyse algebrique, il convientde demonlrer 

 explicilemeut que le cas oil plusieurs ibnctions s'evanouissent ensemble, 

 est en efl'et compris dans celui oil Ton suppose qu'une seule des fonc- 

 tious devient nulle , et il est facile de prouver cede derniere proposition , 

 comraeon le verra dans la seconde partie decelteNote, qui sera inserde 

 dans le lyiiUetin suivant. Nous terminerous cellc-ci par I'expose des 

 consequences generales de la demonstration prt^cedente. 



On en conclut immedialement le iheorcme que nous allons enoncer, 

 et que nous regardons comme un des (':l^ments principaux de I'analyse 

 des equations. 



Une equation cJu degre m , X = o e'tantpwposee, si Von forme la snile 



(m) (m— 1) ,(m — a) '" /' ' 



X ,X 'X , X ,X,X,X, qui com- 



■prend toutes les Jonctions dlfferentielles derivees delL, et si Von siib- 

 stittic ail lieu de x un nombre continuellement croissant a, qui recoit 



louies scs valeurs successii'es depuis jusqu'a H , on obserre la 



relation suivante entre les racines reelles ou imaginaires de la pro- 

 posee, et les changements de signe que presente la suite des re'sul/ats 

 nuineriqucs des substitutions. 



Le nombre des cluingements de signe qui etait m , diminue de plus en 

 plus , jusqu'a ce qu'il devienne nul, il ne pent jamais augmenterj autant 

 il arrive de fois que la suite perd un seul changenient de signe, autant 

 V equation a de racines reelles; et autant il arrive de Jois que la suite 

 perd deux changements de signe en meme temps , autant V equation a 

 de racines imaginaires. 



Ce theoreme comprend , comme on le verra dnus la seconde pnrtie 

 de cette Note, les cas particuiiers ou plusieurs fonctions s'evanouissent 

 en meme temps. 



Les propositions enoncees ci-dessus dans les paragraphcs 1°, 2", 5", 4", 

 page 7 58, sont des corollaires cvidenis de ce tbc^orcmc. 11 en est de 

 meme de la proposition g^ndrale qui leriiiine le paragrajihc 5*". Si les 



