( lOl ) - ' 



1821. 

 Memuire sur V Integration des equations lineairrs mix differences 

 partielles, a coeffi-cients constants et avec un dernier tcrme 

 variable; par M. Augustin Cauchv. 



Dans ce M(5moire je me propose deux objets (iistincis, savoir : MAta^MATiQucs. 



i" de presenter I'integrale gdn^rale des Equations lineaires aux 



dilT'^rciic-es partielles et a cocfRrients constants, avec un dernier terme Academie Royalc 

 variable, sous la ibrme la plus directeraent applicable a la solution des Sciences. 

 do certains problemes, 2" de montrer les diflerentes sortes de r^duc- 8 octobre 1821. 

 tions que peut admettre daus des cas particuliers rinldgrale dont il 

 s'agit. Je vais d'abord m'occuper ici de la premiere de ces deux 

 questions, en me bornant, pour abreger, au cas oii le terme variable 

 dc Tequaliou aux differences partielles se rf^duit a zero. 



On sail depuis long-temps integrer par des sommes d'exponenlielles 

 composces d'un nombre tini ou infini de termes, les equations lin^aire.s 

 aux differences partielles et a coefficients constants; et M. Poisson a 

 fait voir, dans le Bulletin de la Societe Philomatique , de 1817, que les 

 expressions auxquelleson arrive de cette maniere, sont pr^cisement les 

 ifitegralcs gendrales de ces equations. Mais on reconnait bientot que les 

 expressions dontil s'agit pr^sentent rincouv^nient denepouvoir se prefer 

 imm^diatement a la determination des fonctions arbitraires. f-'our f'aire 

 disparaitre cet obstacle, on a employ^ deux moyens diff^rents. I.e pre- 

 mier consisle a d^vclopper les integrales en series, ou a les re|)resenler 

 a I'aide d'expressions symboliqiies tl^duites de Fanalogie entre les puis- 

 sances et les differences, et a converlirensuiteces series ou cessymboles 

 en integrales ddfinies. (^oyr^le M^ moire deM. Poisson, publid en 1819, 

 et deux Memoires de M. Brisson , I'un insdrd dans fe Journal de I'Ecole 

 Polytechniqiie, I'autre manuscrit.) Le second cousiste a inlroduire dans 

 les sommes d'exponentielles dont nous avons parl^ ri-dessus les fonc- 

 tions arbitraires qui doivent y resler. On peut, d'ailleurs, obtenir ce 

 dernier r^sultat, soil dans certains cas particuliers, a f'aide de formules 

 imiquement applicables a ces memes cas , soit en gdu^ral , en supposant 

 les exposants imaginaircs, et faisant usage des theoremes que renf'er- 

 ment les Memoires de M. Fourier, sur la chaleur; de M. Poisson et de 

 moi, sur la theorie des ondes. On peut consulterace sujet , 1° les ^iemoi- 

 res des deux auleurs que je viens de citer ; 2° la note onzieme de moti 

 Memoire sur les ondes, qui inclique precis^ment la maniere de r^soudre 

 ces sortes de problemes. Toutelbis on abr^ge la radthode de solution 

 que j'expose, et celle qui se trouve dans le Mdmoire de M. roissn'), 

 en ajiportant une iegerc raodiBcation a la formule fbndamentulo, Cclle 

 tbrmule, ^teudue a uu nombre n de variables x, j, z, . . , peut s'e- 

 crire ainsi : 



