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 » En renversant les relations (i), on obtient celles-ci 



J /--t-2 ■ 



(2) C r = B r + - B r+1 +■ -ij-^-i B r 

 qu'on vérifie d'ailleurs aisément en constatant l'égalité évidente 



(r+ i). . .(r-t-p) _ r r,r-h 1). ■ .(r + p — 1) _ 



I .2. . . p 1 1.2. . . p 



» On a ensuite 



(3) A r = B r — B,.^ = C r 1 — C r+ , -I — C r+2 . . . , 



d'où 



(4) C r = A r + ^A^ + ^p^A r+2+ .... 



» Enfin, le nombre des combinaisons dans lesquelles ne se présente au- 

 cun des événements considérés sera égal à 



(5) N-B, =N- C, + C0-C3 +-.... » 



ANALYSE. — Théorème sur une intégrale double définie. Note de M. Crofton, 



présentée par M. Hermite. 



« Soit un contour convexe de forme quelconque, dont la longueur totale 

 est L, et qui renferme un espace û; si l'on appelle 6 l'angle des deux tan- 

 gentes menées d'un point extérieur (.r, y) à ce contour, on aura l'intégrale 



fi (0 — sinô) dxdy 



L 2 - 7TÛ 



pour toute la surface du plan, extérieure au contour. 



» L'auteur a été conduit à ce théorème par des recherches sur la théorie 

 des probabilités, en ce qui regarde des lignes droites menées au hasard 

 dans un plan. Dans ce calcul, on peut envisager une infinité de droites me- 

 nées au hasard comme composées d'un nombre infini de système de pa- 

 rallèles, dont la direction change depuis zéro jusqu'à n, par une différence 

 infinitésimale et constante <?y; les parallèles de chaque système sont infini- 

 ment rapprochées, leur distance commune et constante étant dp. 



» Sous ce point de vue, on peut donner une démonstration du théorème 

 ci-dessus, sous une forme purement géométrique, et indépendante de tonte 

 considération sur la théorie des probabilités, à l'aide des théorèmes sui- 

 vants. 



