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 analyse. — De quelques formules de probabilité; par M. C. Jordan. 



« Considérons les divers événements qui peuvenl se présenter dans une 

 question de probabilités, et plus spécialement quelques-uns d'entre eux, 

 en nombre p, E,,..., E p . 



» Soit N le nombre total des combinaisons différentes d'événements que 

 le problème comporte; il est permis d'admettre que chacun des événe- 

 ments E,,..., E /; ne se présente pas plus d'une fois dans aucune de ces com- 

 binaisons; car si E,, par exemple, se présentait plusieurs fois dans l'une 

 d'elles, on pourrait considérer les répétitions de cet événement comme 

 constituant autant d'événements particuliers distincts les uns des autres, et 

 l'on ajouterait au besoin à la série E,,..., E p les nouveaux termes E p+I ,... 

 qui représentent ces événements. 



» Cela posé, soit A r le nombre de celles des combinaisons possibles 

 d'événements dont font partie r événements de la suite considérée E,,..., E„; 

 B r le nombre de celles de ces combinaisons dont font partie au moins r évé- 

 nements de ladite suite, on aura évidemment 



A r = B r — B r+ , . 



» D'autre part, considérons spécialement r événements déterminés, pris 

 dans la suite E,,..., E /; ; cherchons le nombre X des combinaisons qui con- 

 tiennent ces événements, puis faisons varier !e choix de ces r événements 

 parmi ceux de la suite E,,..., E^, et sommons les valeurs correspondantes 

 de X; soit C r la somme obtenue. Les quantités B r et C r sont liées entre elles 

 par les relations générales suivantes : 



(,) R -P _ÎP | r ( r + *) n r(r + i)(r + 2) 



{ I ) &r — <-, — T W+l ■+- — ^r+2 t 2 3 W+3 + 



Considérons, en effet, une combinaison qui contienne r -h p événements 

 déterminés pris dans la suite E,,..., E^; cette combinaison est comptée une 



1.2. . .p 



(r+l)...( /--t-p) r K+ 2 )...(/- + p) *•(/• + !) (r-h3).. .(r-hp) 



fois dans B r , et Test évidemment IJ ' ' — £- fois dans C r : elle sera 



I . 2. . .p 



donc comptée en tout 



1.2... p I 1.2. ..(p — l) 1.2 1.2. ..(p — 2) 



fois dans le second membre et une fois seulement dans le premier; mais 

 l'expression ci-dessus se réduit identiquement à i, car elle est du degré p 

 en r et se réduit ;. l'unité pour p ■+- i valeurs de r, à savoir pour r = o, 

 — i,..., —p. 



