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GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes du quatrième ordre. Note de 

 M. E. de Hcnyadt, présentée par M. Chasles. 



« La Note que je prends la liberté de communiquer aujourd'hui à l'Aca- 

 démie a pour but de compléter par quelques remarques un Mémoire que 

 j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, et qui a été inséré en extrait 

 dans les Comptes rendus, t. LXIV, p. 218. 



» 1. Dans le théorème IV du Mémoire cité, j'ai démontré que chaque 

 courbe du quatrième ordre a des courbes tangentes du troisième ordre, 

 qui ont un contact simple en six points avec la courbe du quatrième ordre. 

 Les six points en question sont les sommets d'un quadrilatère complet. Les 

 courbes tangentes se rangent cinq à cinq en un groupe, et leurs quadrila- 

 tères correspondants forment un pentagone qui est complètement inscrit à 

 la courbe du quatrième ordre. 



» Les courbes tangentes du troisième ordre, cependant, sont non-seu- 

 lement différentes de celles du même ordre dont les six points de contact 

 sont situés dans une section conique, mais elles se distinguent aussi essen- 

 tiellement des courbes tangentes du troisième ordre découvertes par 

 M. Hesse. 



» 2. La démonstration de cette allégation repose sur le théorème IV 

 déjà cité, ainsi que sur les théorèmes suivants, tirés d'un des plus beaux 

 Mémoires de M. Hesse (*). 



» a). L'illustre géomètre de Heidelberg a fait la belle découverte, que l'on 

 peut mettre en relation la courbe plane du quatrième ordre avec une courbe 

 gauche du sixième ordre, laquelle est le lieu des sommets des cônes du 

 second ordre qui passent par sept points. Les deux courbes sont tellement 

 liées entre elles, qu'à un point II de la courbe plane du quatrième ordre 

 correspond un point P de la courbe gauche du sixième ordre, et récipro- 

 quement à chaque point P de la courbe gauche correspond un point II de 

 la courbe plane (§ II, p. 284). 



» b). Aux quatre points d'intersection II d'une droite avec la courbe 

 plane du quatrième ordre correspondent quatre points P de la courbe 

 gauche du sixième ordre. Les quatre points P sont les sommets de quatre 

 cônes qui se rencontrent dans une même courbe (§ III, p. 286). 



» c). Aux six points de contact des courbes tangentes du troisième ordre 



(*) Ubcr die Doppeltangenten and Curven vierter Ordnung (Crelle Journal, t. XLIX, 



P- 2 79)- 



C. R., 1S67, 1" Semestre. (T. LXV, N° 12.; 65 



