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 (de M. Hesse) avec la courbe du quatrième ordre, correspondent, dans la 

 courbe gauche du sixième ordre, six points P qui sont situés dans un plan 

 (§ VI, p. 292). 



» En effet, si l'on considère cinq courbes tangentes appartenant au même 

 groupe, avec leur pentagone correspondant, qui est complètement inscrit 

 à la courbe du quatrième ordre, et si l'on désigne par 1, 2, 3, 4» 5 les droites 

 composant le pentagone et par (/, k) le point d'intersection des droites /et 

 A - , on peut tirer les conséquences suivantes : 



» Aux trois sommets (i3), (23), (34) du quadrilatère (1 2 3 4) corres- 

 pondent trois points P dans la courbe gauche du sixième ordre, dont les 

 cônes correspondants se rencontrent dans une même courbe gauche (b). 

 Les trois points P en question déterminent un plan qui rencontre la courbe 

 gauche du sixième ordre en trois autres points P'. Il reste donc à démon- 

 trer que les trois points P' ne peuvent jamais correspondre aux trois som- 

 mets (12), (i4)> (24) du quadrilatère (1 2 3 4) (c). 



» Car, supposons un instant que les trois points P' soient des points cor- 

 respondant aux sommets (12), (i4)> (24) du quadrilatère (1 2 3 4)- On voit, 

 en considérant le quadrilatère (1 2 3 5), que celui-ci aura de commun avec 

 le quadrilatère (1234) les points (12), (i3), (23), lesquels déterminent en 

 même temps les deux plans correspondant aux deux quadrilatères (1 2 3 4) 

 et (1 2 3 5). D'où l'on peut conclure que les points (i4), (24)? (34) coïn- 

 cident, point pour point, avec les points (i5), (25), (35), ou, ce qui revient 

 à la même chose, les droites 4 et 5 coïncideraient, ce qui est contre la sup- 

 position. 



» 3. On obtient la courbe gauche du sixième ordre, d'après M. Hesse, 

 par l'intersection de deux surfaces du troisième ordre; et d'après 

 M. Chasles (*), par l'intersection de deux surfaces du quatrième ordre. La 

 séparation de la courbe étant lieu des sommets des cônes qui passent par 

 sept points, des courbes étrangères à la question, est plus évidente dans la 

 représentation de M. Chasles. 



» 4. L'équation (5) de mon premier Mémoire, qui s'écrit 



a<p 3 -+- ktyl = o (**), 



(*) Sur la surface et sur la courbe à double courbure, lieu des sommets des cônes du se 

 cond ordre qui divisent harmoniquement six ou sept segments rectilignes pris sur autant de 

 droiles de l'espace [Comptes rendus, t. LU, p. iiGo, théor. VII). 



(**) Par méprise, cette équation a été imprimée dans mon premier Mémoire sou^ la forme 

 suivante : 



ç, -1- k^\ — o. 



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