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 et alors 



a = ^(an — m), /S = -(am — n). 



En effet, l'on a 



N(4p-, Z)=a-f- a/3, N(4d., Z) = 2« + j3, 

 donc 



a +2/3 = m, aa-t-|S = /i, 

 et ensuite 



a = ^(271 — m), |3 = r(2m-«). 



Mais on peut demander : A quoi peut-il servir de substituer, à une seule 

 et unique recherche, faite sur le système 



la double recherche des nombres N (4p-, Z) et N(4d., Z)? 



» Je réponds : A pas grand'chose, à rien même, quand pour la re- 

 cherche des paramètres on se sert de la méthode géométrique. Mais il y 

 a quelquefois des conditions, desquelles il est bien difficile de tenir compte 

 géométriquement (par exemple, les conditions métriques), tandis que l'ana- 

 lyse s'y prête à merveille. Alors il est évident que c'est beaucoup simplifier 

 la question, quand on substitue au système (Z,, Z 2 , Z 3 , Z A ) (duquel on ne 

 peut pas écrire l'équation) les deux systèmes (4p-)> (4d.)> <l u i ont des équa- 

 tions connues et où il n'entre qu'une seule indéterminée, et au premier 

 degré encore. 



» Si l'on pose 



N(3p., id.,Z)=p, N(3d., ip.,Z)=y, N(ap., ad.,Z) = r, 

 on a, dans tous les cas, 



p = 2 m, r = | (m ■+- n), q — in, 



et l'on voit que les deux nombres m et n ne sont pas tout à fait indépen- 

 dants, parce que ^ (m -+- n) doit être un nombre entier. 



» Applications. — I. Le nombre des coniques d'un système (p., v) qui 

 ont un axe constant est 3v. 



» II. Le nombre des coniques d'un système (a, v) qui ont le produit des 

 axes constant est 3v. 



» III. Le nombre des coniques d'un système (p., v), pour lesquelles est 

 constante la somme des carrés des axes, est 2v. 



