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 suivant l'axe des x 



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et deux couples d'équations analogues, l'un par rapport à l'axe des r et 

 l'autre par rapport à l'axe des z. Ces écpiations font connaître ces courbures 

 et leurs directions. 



» II. Relations fondamentales. — i° La première relation est donnée par 

 l'équation : 



(2) - = '-, 



{ ' II, 



qui se traduit ainsi : Quel que soit le système de coordonnées tracées sur 

 une surface, les composantes normales à la surface des courbures incli- 

 nées des deux lignes coordonnées suivant leurs directions réciproques sont 

 égales. 



11 u° Soient ^ : -g-> - la courbure de la courbe de et ses composantes tangen- 



rJX. MX f 



tielle et normale à la surface p.,; -—■> —■> - les courbures analogues de la 



1 <5H, R, r, " 



ligne da,\ —, — les deuxièmes courbures géodésiques des lignes du, de, ; 

 on a les relations 



(3) 



1 cos'f siritp 1 costp sin:p 



7 " ~~ ~ "^r ' 7 " ~ ^T ' 



» Ces expressions montrent la différence essentielle qui existe entre la com- 

 posante normale de la courbure inclinée d'une des lignes coordonnées et la 

 deuxième courbure géodésique de cette ligne. Ces deux courbures ne sont 

 égales que dans un système orthogonal de coordonnées. La propriété prin- 

 cipale de ces deux équations est de montrer que la courbure y qui, dans 



chaque système de coordonnées, a une traduction simple qui permet d'en 

 calculer facilement l'expression analytique, a aussi une signification indé- 

 pendante de tout système, laquelle est exprimée par les seconds membres 

 de ces équations. 



» III. avantages résultant de la courbure inclinée. — Quand on cherche 

 dans un système curviligne p, p,, les équations des lignes jouissant de pro- 

 priétés relatives aux diverses courbures, l'analyse donne des moyens sûrs 

 de calculer ces équations différentielles en dp, dp, ; mais les coefficients de 

 ces équations fonctions de p, p, ne portent aucune trace des opérations qu'il 



