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 a fallu faire pour les obtenir ; l'introduction de la courbure inclinée prodiul 

 un double avantage. Le premier et le plus grand, est que ce tte courbure 

 donne le sens géométrique des différents coefficients de ces equat.ons - 



rentielles, lesquelles ne se rapportant pas plus a un système qu a un autre 

 sont, par cela même, écrites dans un système quelconque. Le < second avan- 

 tage est que, cette courbure se prêtant a une traduction analytique face, 

 le passage de l'équation générale à celle qu, se rapporte au système parU- 

 culier que l'on considère se fait sans effort et tout naturellement. 



, IV. Des lignes de courbure. - La courbure inclinée permet d'obtenir 

 l'équation la plus générale de ces lignes dans un système que conque : de 

 coordonnées, tout en lui conservant un caractère de grande implicite. Cette 

 équation est 

 (4) (i_^)^ + (l-i)^^-(7-?)^=°- 



„ Si l'on veut passer à l'équation relative au système cartésien, ce pas- 

 sage se fait en quelque sorte intuitivement ; il n'y a qu'à apprécier lestes 

 des lignes coordonnées déterminées sur la surface par les deux plans x = 

 r = P et les courbures de ces arcs ; on obtient immédiatement, en appe 

 L, suivant l'usage, p, ,, r, s, t, les coefficients différentiels du premier 

 et du second ordre de l'équation de la surlace, 



da> = {l+p*)df, dc] = {l + qn<i?l d a d* t COS ? =pqd ? d pi 



de' i O ,/ç < ' - /cos/r — — L =scosm>, 



lesquelles, substituées dans l'équation précédente, conduisent à l'équation 

 connue des lignes de courbure. 



. On obtiendra avec non moins de facilité l'équation de ces lignes dans 

 le système de coordonnées polaires. 



» L'équation qui nous occupe donne toute la théorie des lignes de cour- 

 bure qui résulterait de la discussion de cette équation; elle montre auss. 

 toutes les simplifications dont cette recherche est susceptible, et les intro- 

 duit dans le calcul. , 



„ !« Si l'une des courbes coordonnées du est une ligne ,1e courbure, la 

 deuxième courbure géodésiqne de cette courbe étant nulle, on a, d après 

 les équations (3), ) nul, et, conséquemment, 



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