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 » Cette condition réduit l'équation, qui devient 



(5) da, cosœ — da = o, 



qui représente l'équation des lignes de courbure du second système; on 

 reconnaît que c'est la trajectoire orthogonale des courbes p, = const., ce 

 qui est vérifié dans les surfaces développables, et fournit une équation dans 

 laquelle les variables sont séparées. 



« 2° Si l'une des lignes de coordonnées est asymptotique, et l'autre leur 

 trajectoire orthogonale, l'équation devient 



,/>> da: di da, da 



I ?■ 1 



= O, 



laquelle s'applique aux surfaces réglées quelconques. En effet, si l'on ap- 

 pelle dt l'angle de deux génératrices rectilignes infiniment voisines, dp leur 

 plus courte distance, dm l'angle de deux plus courtes distances infiniment 

 voisines, dq\cm plus courte distance, -/ l'angle de la normale à la surface 

 avec celle menée par le point central situé sur la même génératrice, dp, la 

 distance de deux trajectoires orthogonales infiniment voisines, on a 



da, . du . da , . , , 



-— = a Pt y, — = — «scosy, -=a p y — dw, dp = da cosy, 



et l'on obtient 



dp , : d'i — d'j) ) -+- de dp = o , 



qui est la forme connue des lignes de courbure des surfaces réglées dans le 

 système dont il s'agit. 



» 3° Si les deux ligues coordonnées sont l'une et l'autre asymptotiques, 

 l'équation devient 



(7) da\ - du 2 = o, 



c'est-à-dire le double système des lignes bissectrices des angles des lignes 

 coordonnées. Si, par exemple, on considère l'hyperboloïde à une nappe : 



a- b- c- 



les équations des deux génératrices rectilignes sont : 



ï-ï=K ,+ ^)' ï+h^-ï)-' 



p et p, étant les deux paramètres variables. L'équation différentielle des 



C. R., 1867, î e Semestre. (T. LX.V, K° 20.) io 7 



