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 lignes de courbure dans le système p, p, devient donc, après avoir repré- 



•j tl - ^jï _1_ f<"t 



sente par k a l'expression — j~ 2 — — 5 



dp r/p, 



» C'est l'équation de Lagrange; elle s'intègre par les procédés connus et 

 donne, en appelant A la constante de l'intégration, 



\/i-h2k- p'+p'' -+- v/n-2À: 2 p; -\- p* = (p, — p) \Jâ-+- p,-+- p) 2 . 



» Si l'on passe aux coordonnées cartésiennes, et qu'on cherche les pro- 

 jections des intersections de cette surface avec l'hyperboloïde sur les trois 

 plans coordonnés, on obtient le système de coniques connu. 



» V. Des lignes dont la deuxième courbure géodésique est itonnée. — Ce 

 problème contient le problème des lignes de courbure comme cas parti- 

 culier, puisque ces lignes sont caractérisées par cette condition que leur 



deuxième courbure géodésique est nulle. Soit donc — la fonction de p et 



de p, , qui en chaque point de la ligne sera sa deuxième courbure géo- 

 désique : l'équation différentielle de cette courbe sera 



. ., / sinm I cos» \ 



^î hf + 7-T 

 (8) . 



» En appliquant cette formule au tore, dont l'axe coïncide avec la 

 ligne des z et dont le rayon du cercle parallèle est t, on reconnaît : 



» i° Que si V est proportionnel au quotient de z par t, la projection de 

 la courbe sur un plan perpendiculaire à l'axe est la spirale parabolique; 



» i° Que si V est proportionnel à /, la courbe est la trajectoire des méri- 

 diennes sous angle constant: 



» 3° Que si V est proportionnel au rectangle tz, on obtient la spirale 

 logarithmique; 



» 4° EuBn, que si V est proportionnel au carré de /, la projection de la 

 courbe est la spirale sinussoïde. 



» Remarque. — On pourrait éliminer la courbure - des équations (4) 



et (8) au moyen des formules (3); mais les simplifications introduites par 

 cette élimination ne seraient qu'apparentes. » 



