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 cherchons son expression analytique : elle est, comme on va le voir, fort 

 remarquable. 



» Les triangles rectangles semblables oia, a2|3, j33*y,.. donnent la suite 



de rapports égaux 



01 a 2 (3 3 \ . fi 



la 2 [i 3 7 6-7 



on, si l'on fait ia = X, et si l'on remplace les longueurs oi , r?., -23,... par 

 leurs valeurs A, B, C,..., 



c -»(!W(î 



x °(ÎHr)' °g -»(rVHr 



!.6 " 



-Œ)---ar L »(rr +A (! 



6-7 H f^_L^V + ... + cC?r'-B^V"'+A^ 



(x) 



,Ay Va,/ Va/ Va 



d'où l'on conclut, pour la valeur de Q, 



Q = 7 . 8 = N-6. 7 = N-M(ï) + L(£)'-...-HB(!)" l -A(! 



et enfin, en posant f — — J = x', 



Q = Ax"" -+- B.r""-' h- Cr""- 2 4- . . . -+- L.r' 2 + Mf + N; 

 c'est-à-dire que la valeur de Q est précisément celle que prend le polynôme 



donné, quand on y substitue pour x la valeur I ) on I — )• Donc, si 



cette valeur de Q est nulle, c'est-à-dire si le second contour aboutit au 

 même point final 7 que le premier, la quantité ( ~\ est une racine de 



l'équation proposée. 



» La construction annoncée plus haut se trouve ainsi démontrée. On voit 

 en outre, que la racine obtenue est négative, si la longueur trouvée \v. 

 tombe sur la partie positive de 12, et vire versa. 



» Si l'on connaît déjà r racines de l'équation proposée, et qu'on ne puisse 

 plus obtenir aucun résultat nouveau de la construction et des tâtonnements 

 ci-dessus, on devra en conclure que les m — r racines restantes sont imagi- 

 naires. Dans ce cas, le dernier côté du contour inscrit ne peut plus 

 atteindre l'extrémité du premier. Son point de rebroussement sur le der- 

 nier côté de celui-ci indique une des limites des racines réelles pour le 

 coefficient N. 



