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 naître depuis longtemps, mais dégagée de ce nombre surabondant de coni- 

 ques, que j'y employais dans l'un des cas, et qui marquait un défaut d'exé- 

 cution. 



» 2. Lemme.— Un pentagone gauche i2345 el un quadrangle j)lan*xjzt., 

 inscrits /'un et C autre à une même courbe gauclie du (juatricme ardre saiil tou- 

 jours conjugués ('( une même conique [loc. cit., p. Syi). 



)) Rappelons qu'un quadrangie xjzt est dit conjugué à une conique, 

 lorsque le pôle de chacun de ses côtés, par rapport à la courbe, tombe sur 

 le côté opposé, et qu'une conique conjuguée au pentagone gauche 12345 

 est aussi conjuguée au pentagone plan 12345 ayant pour sommets suc- 

 cessifs les traces des côtés successifs de celui-là sur le plan de la courbe; 

 en sorte que chacun des sommets de ce nouveau pentagone représente 

 le pôle du côté opposé, par rapport à la conique conjuguée, laquelle est 

 déterminée entièrement en même temps que l'un ou l'autre de ces penta- 

 gones. 



» Le lemme actuel n'est d'ailleurs que la traduction, en langage ordi- 

 naire, de l'identité générale (I); il fournit immédiatement la construction 

 (lu premier cas du problème, et nous allons montrer comment on l'ap- 

 plique aux trois autres cas. 



» 3. Problème. — is<fln< donnés huit points i, 2, 3, 4> 5, 6; ^, J' 

 d'une courbe gauche du quatrième ordre, déterminer les deux dernières 

 traces zettde la courbe sur un plan H, conduit à volonté par deux de ces points 

 X et y. Considérons, dans le plan II, les doux coniques déterminées .S,, So, 

 conJHguéesrespectivementauxpeutagonesgauchesi2345, 23456, ouaux pen- 

 tagones plans dérivés de ceux-là. Le quadrangie formé dans le plan II des 

 deux points donnés x, y et des deux z et « que l'on cherche sera conjugué, 

 d'après le lemme, à chacune des courbes S,, S^; et c'est d'après cette 

 double condition que l'on doit le déterminer complètement. 



» Observons, à cet effet, que, si l'on conçoit les deux courbes S, et So 

 rapportées aux sommets x,y, z, l du quadrangie conjugué qui leur est 

 comnuin, leurs équations taiigeulielies seront l'une et l'autre de la forme 



(o) X- -\-y- -\- z- -^i- — o\ 



en désignant par x- un nuiltiple quelconque du carré x- [loc. cit., p. 287). 

 » D'une autre part, si l'on rnpporti^ cfj'ictivement ces deux courbes, qui 

 sont entièrement connues, aux sonnnets de deux quadrangles, respective- 

 ment circonscrits à l'une ou à l'autre, et ayant d'ailleurs deux sommets 

 opposés communs a, a', leurs équations taugentielles respectives peuvent 



