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jusqu'ici d.ins la tiu-orie ties roiiilies, soni cxtrcniement rares, lu-^inc ;i l'i^tiard des courbes 

 les plus simples, les sections coniques; c'est que, indépendamment des difficultés de calcul 

 qu'ytionvent les méthodes analytiques, leur solution implique en général la connaissance de 

 Xordrc et de la classe des courbes, et est donc inaccessible à ces méthodes. » 



» Cela dit, nous allons développer iiolte méthode sur le premier exemple 

 traité |)arM. Chasles, dans sa (lotnmunicatioii du 29 novembre. 



» Problème. — Trouver l'ordre du lieu des points d'où l'on abaisse sur une 

 courbe U,„, possédant un point P multiple d'ordre p, des normales de même 

 grandeur Q (*)• 



» Si l'on prend pour origine le point P, et si l'on désigne par 



/■(.r, r': ~ o, {a, b), 



l'équation de U,„ et les coordoiuiées d'un point de cette courbe, les équa- 

 tions et les séries des points qui définissent le lieu seront évidemment 



, . dû do dp , dû 



(2) /{a,b) = o, 



(3) {a'-a;- + {jr-bY=Q\ 



, , . /' dû do \ do , do ' 



(5) /{a,b) = o, 



(6) pi (/;= + cf-) - 1 [pa + na) 0. ^n- + b- - Q^ = o. 



» Rappelotis qu'il y a nécessairement une certaine relation -f- (p,, pj) = o 

 entre p, et p,, et que c'est le degré de cette relation, lorsqu'on y fait p,=z p^, 

 qui donne le degré du lieu. 



» Cela posé, si l'on donne à p, une valeur particulière, il en résulte, à 

 causedes équations (4) et (5), m'^ valeiu'sde (rt, ^) ; mais, puisque le point P 

 est pris pour origine, il y a parmi ces valeurs p [p — i) d'entre elles qui 

 sont nidles et auxquelles correspondent, d'après l'équation (3), 'xp{p — i) 

 valeurs de p,, déterminées par l'équation [pa (/^' +7'') —Q* ]''''""= o. Ou 

 peut donc dire que, parmi les 2m- valeurs correspondant à une valeur 

 particulière de p,, il yen a 2m^— ^pil' ~ ^l'i dépendent de cette valeur 



(*) L'énoncé du t/iéoièiiie <lo M. Cliasles, t. LXXXI, p. 994, est : «Le lieu des points 

 d'où l'on abaisse sur une courbe U" des normales de même longueur est une courbe de ror<Ire 

 2 '« -f- ^ « . » 



La condition do posséder un point P niulii|)le d'urdre/? n'y est pas supposée. (J. Bebtrand.. 



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