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1) Le travail de Riemann a rappelé l'attention sur une question qui 

 paraissait épuisée. Plusieurs des élèves de l'illustre géomètre ont publié 

 d'intéressants Mémoires où ils ont adopté le point de vue de Riemann, en 

 essayant de résoudre plusieurs difficultés relatives aux fonctions singulières 

 et à la convergence de leurs développements en série trigononiétrique. 

 Cette étude est loin d'être épuisée. 



» Le point de départ de mon travail se trouve dans l'examen de ques- 

 tions toutes différentes relatives aux séries trigonométriques, questions qui 

 ont été un peu négligées depuis la publication du Mémoire de Dirichlet. 

 Avant ce grand géomètre, on avait essayé de justifier les développements 

 en série trigononiétrique en se rendant compte de l'ordre de grandeur 

 des termes de la série. Cette évaluation est facile, comme on le verra, pour 

 les fonctions habituellement employées dans l'Analyse; mais elle n'était pas 

 suffisante, Dirichlet a soin de le faire remarquer, car il fallait non-seule- 

 ment démontrer que la série est convergente, mais encore en déterminer 

 la somme, ce qui présentait des difficultés sérieuses, levées pour la première 

 fois dans le travail de Dirichlet. 



» Dans la première Partie de cette Étude, je donne d'abord des carac- 

 tères précis pour reconnaître l'ordre de grandeur et obtenir l'expression 

 approchée des coefficients successifs d'une série trigonométrique. J'ap- 

 plique ensuite les résultats obtenus à la solution d'une belle question, l'ap- 

 proximation des fonctions de très-grands nombres pour laquelle Laplace a 

 donné, dans la Théorie des probabilités, une méthode très-importante, la 

 seule connue jusqu'à présent. Il est facile de rattacher l'étude de cette 

 question à la théorie des séries trigonométriques. 



» En effet on peut, dans la plupart des cas, regarder la fonction dont 

 on veut obtenir une expression approchée comme le coefficient d'une puis- 

 sance de X dans une série supposée ordonnée suivant les puissances crois- 

 santes /(.r) = «0 -f- rt, a: ^- . . . + a„jf" -+- Supposons donc que, étant 



donnée une telle série, on se propose une évaluation approchée du terme 

 n„. La série sera en général convergente, et si nous y remplaçons x par 

 Re'", R étant le module et w l'argument de x, nous aurons 



f{Re'''') = «„ + ...-{- rt„R«e"'" + . . . . 



Le coefficient a„ fera partie d'une série trigonométrique, et nos méthodes 

 se prêteront alors à son évaluation approchée. 



» Cette relation entre les séries trigonométriques et les séries de puis- 

 sances est bien connue; elle a été même utilisée par M. O. Bonnet, qui, 

 dans son beau Mémoire sur la théorie générale des séries, a déduit de la théorie 



