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 des séries trigonomélriqucs le ihéorème de Caucliy sur le développement 

 des fondions en séries de puissances convergentes à l'intérieur d'un cercle. 



» Elle permet de traiter une question qu'on laisse d'habitude sans exa- 

 men, et de reconnaître si la série de puissances que développe une fonction 

 demeure convergente sur le cercle limite. Il suffit évidemment que, sur ce 

 cercle, la fonction remplisse les conditions qui assurent la légitimité de son 

 développement en série trigonométrique. 



» Parmi les fonctions de très-grands nombres auxquels j'applique ma 

 méthode, je citerai : 



» i" Les polynômes X„ de Legendre, dont je donne l'expression appro- 

 chée, de l'ordre d'une puissance quelconque de - : 



» 2° Les polynômes plus généraux qui naissent de la série hypergéomé- 

 trique, quand elle se termine, et qui sont, par conséquent, définis par 

 l'équation X„ = F(— u, u-h n,y, x). J'en obtiens encore une approxi- 

 mation indéfinie; 



M 3" L'intégrale si importante de Laplace 



jy{x)f"{œ)dx, 



prise entre deux limites réelles quelconques; j'étends le résultat au cas où 

 l'intégrale serait prise entre des limites imaginaires, les fonctionsy (x), ç{x) 

 étant imaginaires; 



)) 4° Les dérivées «'""" de 



pour lesquelles je donne aussi une formule d'ajjproximation indéfinie; 

 I) 5° La dérivée n'''""^ des expressions telles que 



{x -a,)"'',{.r-a,)"'^,..., {x-a^fp; 



» 6° L'expression approchée du terme général de la série de Lagrange 

 ou, plus généralement, de la fonction 



où n est très-grand et p fini. Laplace n'a traité qu'un cas particulier de 

 cette expression, celui qui se rapporte à l'équation 



n — esiuK = 'Ç, 



et par une méthode qui n'est pas applicable au cas général. 



» J'aurais pu indiquer beaucoup d'autres applications, mais mou but 



