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GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes gauches du quatrième ordre; 

 par M. P. Seiiret. 



(Renvoi à la Commission précédemment nommée.) 



« 1. Problème III. — É la ni donnés huit points i, 2, 3, 4> 5,6, 7, x 

 d'une courbe gauche du qualrième ordre, trouver les trois dernières traces 

 r, z, t de la courbe sur un plan H conduit à volonté par l'un de ces points x. 



» Soient, dans le plan H, trois coniques déterminées S,, S.>, S3, conjuguées 

 respectivement aux pentagones gauches 12345, 23456, 34567, ou aux 

 pentagones plans dérivés de ceux-là. 



» Le quadrangle formé, dans le plan H, du point donné x et des trois 

 y, z, t, que l'on cherche, étant conjugué, d'après le lemme, à chacune de 

 ces coniques, leurs équations tangentielles seront réductibles en la forme 

 commune 

 (o) X- -h j- -\- z- -^ t- = o, 



tandis que leurs équations effectives pourront s'écrire respectivement 



(i) aa' + /3/3' = o, (2) aa' -4- 77' = o, (3) ««' -+- oM' = o, 



ces dernières supposant d'ailleurs les trois courbes rapportées à autant de 

 quadrilatères circonscrits, ayant deux sommets opposés communs a, «', 

 pris à volonté, et que l'on pourra construire effectivement, puisque les trois 

 courbes S,, So, S, sont entièrement connues. 



» Si l'on compare actuellement les équations (i), (2), (3) des trois 

 courbes à la forme équivalente (o) qui leur est commune, les identités tan- 

 gentielles, résultant de cette comparaison, entraînent l'existence d'une pre- 

 mière conique 1 circonscrite au quadrangle xj'z< et conjuguée aux quatre 

 couples connus au', j3/3', 77', â^'. Cette première conique 1 est d'ailleurs 

 entièrement déterminée par le point x qui en est donné, et par les quatre 

 couples de points conjugués connus, aa',..., jô', et elle contient les trois 

 points j, z, t que l'on cherche. 



» Il ne leste plus qu'à répéter cette construction, après avoir substitué 

 aux points a, a', qui avaient été pris arbitrairement à l'extérieur des trois 

 courbes S,, S2, S3, deux autres points «,, a'j choisis tie même. On obtient 

 ainsi une deuxième conique déterminée 1' passant, comme la première, 

 par le points, et contenant aussi les trois points cherchés. 



» Les points cherchés se trouvent donc aux trois derniers points de 



