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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur r approximation des fonctions de 

 très-grands nombres et sur une classe étendue de développements en série 

 (seconde Partie); par M. G. Dauboux. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Hermite, Puiseux, Bouquet.) 



« La seconde Partie de mon travail est uniquement consacrée à l'étude 

 des développements en série ordonnes suivant les polynômes de la série 

 hypergéométrique. Ces fonctions, étudiées par Jacobi et aussi par M.Tche- 

 bychef, qui les a employées à la solution de belles questions d'Analyse, sont 

 définies par la formule 



X„=F(-n, a + n, •/, ^)- p^^-^''^ (• - ^^" ;£ -ï'""^-' (» - ^)' 



a+«-Y . 



une de leurs propriétés fondamentales est exprimée par la relation sui- 

 vante : 



'"x,„X„x^-'(i —xf-'^dx — o. 



i 



» Cette relation permet de déterminer par des intégrations les coefficients 

 successifs du développement supposé possible d'une fonction quelconque. 

 En effet, si l'on pose 



(i) /(.r) = AoXo4- A,X,4-.. . + A„X„4-. . ., 



on aura 



A„ r'x,?.r^-'(i-a^)«-Tf^te= f'f(x)\„x-<-'{i-xf-yclx, 



i/o «/o 



équation qui détermine tous les coefficients. En substituant ces valeurs dans 

 la formule (i), il y ^ ''eu de se poser la question suivante : 



» La série ainsi obtenue est-elle convergente et représente-t-elle la fonc- 

 tion? 



» Je crois avoir résolu complètement celte question. Une formule don- 

 née dans mon Mémoire sur le théorème de Sturm permet d'abord de faire 

 la somme des premiers termes de la série, de la remplacer, comme on le 

 fait pour les séries Irigonométriques, par une seule intégrale dont il s'agit 

 de chercher la limite; j'ai essayé d'apporter la plus grande rigueur dans 

 l'élude de cette limite et les résultats obtenus justifient celte précaution. 



