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 Ainsi, alors même que les intégrales qui déterminent les coefficients de la 

 série ne sont pns infinies, ont un sens déterujiné, il se présente ini fait 

 inattendu. La série peut être divergente si la fonction devient infinie d'un 

 certain ordre. C'est ainsi que, pour les polynômes de Legendre, la série 

 cesse d'être convergente s'il arrive que la fonction devienne infinie d'un 

 ordre égal ou supérieur à J pour l'une des valeurs x=-\-i,x — — t.he 

 théorème que résume cette partie de mes recherches est le suivant : 



» Entre les limites x = o, x = i, In série ne sera convergente que si la 

 fonction demeure finie pour x = o, x — \, ou si, devenant infinie pour x = o, 



elle ne le devient pas d'un ordre égal ou supérieur à - ->r -. et, devenant infinie 



pour X = i, elle ne le devient pas d'un ordre égal ou supérieur à ^— — h j- 



Si la série est convergente, elle représente la fonction, continue ou discontinue, 

 de la même manière que les séries trigonométriques. 



n La fin de mon travail traite d'une question différente de la précédente, 

 quoique aussi intéressante. Étant donnée une série de fonction X„ 



en admettant qu'elle soit convergente, quelles sont les limites de sa cou- 

 vergence ? 



» Je prouve que les courbes limitant la région de convergence sont dans 

 tous les cas des ellipses ayant pour foyers les points o,i, et je démontre que 

 réciproquement toute fonction finie et uniforme à l'intérieur d'une ellipse 

 est développable à l'intérieur de celte ellipse en une série convergente de 

 polynômes X„. 



» Cette démonstration s'appuie sur le théorème de Cauchy 



•^ ^ ' 11X1 J y — X 



et sur le développement de -^ • en une série de fonctions X„. I/étude de 



ce développement me conduit à introduire, comme cela a déjà été fait pour 

 les polynômes de Legendre, des fonctions de seconde espèce qui, dans 

 presque toutes les questions, interviennent à côté des polynômes X„. Par 

 exemple, toute fonction uniforme dans la couronne conipi ise entre deux 

 ellipses homofocales est développable eu une série, composée à la fois de 

 fondions de première et de seconde espèce. 



)) Je donne un grand nombre d'expressions différentes et de propriétés 

 de ces nouvelles fonctions. 



C.K., 1876, 1" Semcitre. (T. LXXXll, ^'' 7.) M 



