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 rencontrent tes normales des points a' en des points dont le lieu est une courbe 

 d'ordre 2 mil' ( 2 m , + n , ) . 



X, n 2mm^ u 



u, (m, -h n, ) 2mn' x 



2mn'{2in, -\-ti,). Donc, etc. 



» XXIII. Ln normale du point a' de chaque droite aa' rencontre une 

 courbe U,„^ en nij points: les droites menées du point a à ces points envelop- 

 pent m^e courbe de la classe 2mni2(2m, -f- n,). 



IX, mo(m, -+- II,) 2m lu 



lU, m 2 m, nzo IX 



2^^2(2772, 4- n,). Donc, etc. 



l^mnii TÏ [m" -\- n"). Donc, etc. 



» XXIV. De chaque point a on mène les tangentes d'une courbe U"', et du 

 point a' les normales d'iuie courbe U"" : ces normales rencontrent les tangentes 

 en des points situés sur une courbe de l'ordre 4 mm) n'(m" + n"). 



X, nm2m,{}n" -h II") u 

 u, {m" + n")m,2mn' x 



» XXV. De chaque point a de U,„ on mène les tangentes d'une courbe U"', 



lesquelles rencontrent la courbe U,„, en des points a, : les droites menées de ces 



points a, aux 2m points a' de U,„^ enveloppent une courbe de la classe 



4mu), (m, — i)n'. 



IX, ni,Ti'm2m, lU 



lU, m, 2mn'm, IX 



» Il y a 4'»'"i "' solutions étrangères dues aux ^mm,n' droites aa' qui 

 sont tangentes à la courbe U"'; car pour chacune de ces tangentes a' coïn- 

 cide avec fl,, et par conséqnent lU avec IX. U reste l\ nim,n' [m, — 1). 



« XXVI. De chaque centre instantané de rotation on mène les tangentes 

 d'une courbe U"', et des points a de U„; on mène les normales d'une courbe U,„. : 

 ces normales rencontrent les tangentes en des points dont le lieu est une courbe 

 de l'ordre 2n'(m2 4- Uo){ 2mm, -1- mn, + niin). 



X, n' almm, -i- mn, -\- fn,n)[in2 -h n^ u 

 u, [ni2 -h n2)m2m,fi' x 



l\inm\n' . 



Donc, etc. 



» Chacun des sept derniers théorèmes, XX-XXVI, donne lieu à un 

 théorème réciproque qui s'en déduit imiiiédiatcment, et qui se démontre 

 aussi directement. Voici les énoncés de ces théorèmes : 



» XXVII. Cltaque tangente de \j"' passe par 2(^mm, + mn, -h m, n) centi es 

 instantanés de rotation : les droites aa' auxquelles ces centres instantanés se rap- 



