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» Par exemple, avec les variables s et m, on peut se proposer de faire en 

 sorte que les courbures d'une ligne quelconque et de sa transformée soient 

 partout proportionnelles, ou que la transformation augmente en chaque 

 point la courbure d'une même quantité, ou encore qu'elle ajoute une con- 

 stante au rayon de courbure ; etc. Avec les coordonnées polaires, nous pou- 

 vons cbercher à conserver la sous-normale, propriété qui apj)artient en 

 particulier à la transformation conclioïdale. Avec* et t, on peut demander 

 que la vitesse de tous les mouvements possibles augmente par la transfor- 

 mation d'une même quantité, et ainsi de suite. 



» La question est double : de semblables transformations sont-elles réa- 

 lisables et quel est le type le plus général de celles qui sont possibles? En 

 second lieu, quelles sont les formules de transformation qui permettront 

 de les obtenir? 



» Je fais voir que les seules conditions que l'on puisse imposer sont 

 renfermées dans l'expression 



OÙ l'on peut disposer à volonté des quatre arbitraires de manière à varier, 

 dans une très-large mesure, les propriétés que l'on veut communiquer à la 

 transformation. Quant aux formules cherchées, elles sont les suivantes : 



X = aX -h ^Y -h 7, 

 / =aX + i Y + c. 



» Pour généraliser le problème, j'ai cherché ensuite si l'on peut réaliser 



11'-. '/*r <f^ i> 1 



de même une condition permanente entre les dérivées -p_ et ——^ n un ordre 



quelconque, mais déterminé, quelle que soit la relation spéciale dc^ à jc. Je 

 fais voir qiie celle condition est alors nécessairement linéaire pour tous les 

 ordres supérieurs au premier : 



Une analyse assez compliquée montre ensuite que les formules de transfor- 

 mation les plus générales propres à la réaliser sont les suivantes : 



X =mX + ?i, 



y = IJ.X -H v„ + V, X -f- v.X= H- ... -I- y*_, X*-' + vaX*, 



avec /c -f- /i constantes arbitraires. 



C. R., li>76, I" Scmeitrc. ^T. I.XXX1I, N» 10.) 7^ 



