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 » On peut ainsi, par exemple, établir une relation invariable entre les 

 courbures des /:'"«" développées d'une ligne quelconque et de sa trans- 

 formée dans tous les couples de points correspondants. » 



GÉOMÉTRIE. — Démonstration géométrique d'une relation due à M. Laguerre; 



par M. A. Mannheisi. 



« M. Laguerre a fait connaître, en 1870, dans le Bulletin de la Société 

 pliilomathique, une importante relation concernant deux courbes tracées 

 sur une surface et tangentes entre elles. Il en a fait usage, dans les Comptes 

 rendus, séance du 29 mars 1875, pour démontrer un théorème de M. Ri- 

 baucour. Dans la séance précédente, j'étais arrivé à démontrer géométri- 

 quement ce même théorème, en partant d'une propriété énoncée par 

 M. Bonnet en 1868 (i), et qui est relative aux normalies à une surface 

 dont les directrices sont tangentes entre elles. J'ai pensé que la relation 

 de M. Laguerre n'était elle-même qu'une conséquence de cette propriété 

 des normalies. Je vais montrer qu'il en est bien ainsi. 



» Désignons par (S) la surface sur laquelle nous considérons une 

 courbe (a), par a un point de cette courbe, par (T) le plan tangent en a 

 à (S), par A la normale à (S) qui est issue du point a, enfin par b eic les 

 centres de courbure principaux de (S) situés sur A. 



)) En faisant usage de ces notations, la propriété des normalies dont il 

 vient d'être question peut s'énoncer ainsi ; 



» Lorsque les directrices de normalies à (S) sont tangentes en a « (rt), ces 

 normalies sont osculatrices entre elles aux centres de courbures principaux b et c. 



» Il résulte de là qu'aux points ^ et c les indicatrices de ces normalies 

 ont les mêmes asymptotes. La normale A est une asymptote commune à 

 ces deux indicatrices. Désignons par bb' et ce' les deux autres asymptotes, 

 b' et c' étant les traces de ces droites sur le plan (T). 



» On peut dire aussi que les hyperboloides osculateurs de ces normalies 

 le long de A contiennent les droites bb' et ce', et alors les traces de ces hy- 

 perboloides sur le plan (T) sont des coniques tangentes entre elles en a à 

 {a) et qui passent par les points b' et e' . 



» Menons la droite b'c' et appelons î le point de rencontre de celte droite 



(i) Y ow Recueil des Savants élrangets, t. XX, et Journal de l'École Polytechnique, 

 43° caliier, mon Etude sur le déplacement d'une figure de forme invariable, tlieoi . LVIII 

 (1868); voir aussi joui'ii;il l'Institut, séance de la Société [ihiioniatliiijue du 5 novembre 

 1871. 



