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 et de la normale comninne en « à ces coniques. Le segment ai est alors 

 une longueur qui est la même pour toutes ces courbes. 



» Nous n'avons donc qu'à chercher, au moyen des éléments relatifs à une 

 courbe tracée sur (S), l'expression du segment ai, pour obtenir une fonction 

 qui ne variera pas lorsqu'on passera de cette courbe à une autre qui lui est 

 tangente. 



» Pour calculer ai, prenons en particulier la courbe [a), la normalie à 

 (S), dont cette courbe est la directrice, et l'hyperboloïde osculateur de cette 

 normalie le long de A. Cet hyperboloïde a pour trace sur , T) une conique 

 qui contient b' et c' et dont le centre de courbure correspondant à a est un 

 point que j'appellerai y. Appelons/ le point de rencontre de cette conique 

 et delà normale ay; on a, puisque l'angle b'ac' est droit, 



, . II I 



^ ' 2.a'f aj ni 



» Menons, à partir de fl et à partir du point a,, infiniment voisin de a, 

 sur la courbe (a), des plans normaux à {a). Ces deux plans se coupent 

 suivant l'axe de courbure de {a). Cette droite contient-/; elle rencontre A 

 au point |5, centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan 

 mené par A tangcntiellement à [a). Le plan Aay normal à {a) est alors 

 tangent en /5 à la normalie dont cette courbe est la directrice; le plan nor- 

 mal à {a) au point a, touche cette normalie au point p,. La droite (3^, et 

 la droite /Sy sont deux tangentes conjuguées, puisque /3y est l'intersection 

 des plans tangents à la normalie aux points iuBniment voisins [i et p,. Ces 

 deux droites et les génératrices de l'hyperboloïde osculateur qui passent 

 au point j3 forment un faisceau harmonique. Ces droites sont ^a, p-j, ^j 

 et j3A, en appelant k la trace de la droite /3p, sur le plan (T). On a alors 



I I I 



aj r>. rty iak 



Portant cette valeur de — . dans la relation (i), il vient 



, . 2 1?. 



\ ' (l'j ak ai 



Calculons maintenant a-j et ak. Désignons par ts l'angle que A fait avec 



le plan osculateur de {a) au point a et par II le rayon de courbure (7/3, 



on a 



I tango 



7-3.. 



