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 d'intégrer le système (2) par de simples différentiations, et que, réciproque- 

 ment, l'intégration du système (2) fournit, par une quadrature, une solution 

 complète de l'équation (i). 



M La démonstralion de Jacobi et les modifications indispensables, pro- 

 |)Osées depuis ()ar |)lusieurs géomètres, laissent ces deux théorèmes indé- 

 pendants et distincts. Le second, cependant, est une conséquence immé- 

 diate du premier, et le lien évident qui les unit montre en même temps 

 les diverses formes qu'il convient d'adopter quand l'énoncé primitif est en 

 défaut. 



» Le premier théorème de Jacobi s'énonce de la manière suivante : 



>■ Soit 



(3) ■V = 9(<, (/,,(/., ...,9,,, «,,«.,... ,a„) 



une iolutioti coinplèle de l'cqualion (i); les intégrales du sjslèine (2) suiil repré- 

 sentées par les équations 



'•^1 \ dV dV dV 



» La vérification de ce beau théorème, aujourd'hui classique, ne pré- 

 sente aucune difficulté. 



» Supposons maintenant que, par un moyen quelconque, on ait inté- 

 gré complètement le système [1) et exprimé, par suite, q^, q2i---, 7,,, p^■, 

 ^o,..., pn en fonction de t et de 2ji constantes arbitraires; nous allons 

 montrer qu'on peut en déduire une solution complète de (i). 



» Soit, en effet, 



une telle solution : les équations (4) forment la solution générale du sys- 

 tème (2); et, l'équation ^ ;=:; — H étant satisfaite identiquement, on a 



(5) y=Sptdq,+ p.dq. + ...+ pndqn —Bdt, 



où q,, q^,---, q,, et t sont considérés comme des variables indépendantes, 

 £t Pi, Pi,-'-, p„ des fonctions de ces variables définies par la seconde ligne 

 des équations (4)- 



» Ces équations, qui définissent ^,, po,..., /j„ dans la formule (5), étant 

 une partie seulement des intégrales de (2), si nous posons 



(6) W= / ptdqt-i- p2dqi-h...-hp„dq„-- Udt. 



