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 En considérant cetfe fois p,, /'j,..., p„, 7,, 7.., .., ^n comme des fonctions 

 de t définies pnr Je système (2) et conservant tonte la généralité compatible 

 avec cette définition, V et W deviendront évidemment deux formes diffé- 

 rentes d'une même fonction, pourvu que dans V on suppose l'intégration 

 faite entre les valeiu-s des variables correspondnnt k t = fg, i ::= t (les va- 

 leurs initiales et finales de (/i, «/o,. .., </„ restant arbitraires), la seule diffé- 

 rence de V et de W étant rpie les variables (y,, (/j,..., q„ et t, indépendantes 

 dans V, sont liées dans W par les équations qui forment les intégrales com- 

 plètes du système (a). V peut être considéré comme l'expression même 

 de W, calculée conformément à la définition, en profitant de la forme par- 

 ticulière des intégrales exprimées par le système (4), comme on aurait évi- 

 demment le droit de le faire si ces intégrales nous étaient connues. 

 » L'équation (5) donne, en désignant parc» l'intégrale indéfinie, 



, V ( V = 9(7,, 7,,. .., 7„,«, a,, «2,.. ., a„) 



( -?(7%72 îC'oi «M «2,---, î<«) = ? — ?o, 



et les formules (6) et (■y) sont deux expressions différentes d'inie même 

 fonction W de 2?i -1- i variables indépendantes exprimée dans (G) au 

 moyen de t et de an constantes, et dans ('7) au moyen de 3/z -f- i quan- 

 tités, i, 7,, 70,..., 7„, 7", 72,..., 7", a,, iZj,..., a„, que les équations (4), 

 si elles étaient coimiies, permettraient de réduire à 2« -f- 1. 



» La fonction W, sous la forme (■y), est une solution coniplète de(i); 

 elle ne l'est pas sous la forme (6) et ne saurait l'être évidemment, puisque 

 les variables 7,, q^,..., 7,, n'y figurent pas. Après avoir déduit des inté- 

 grales de (2) la fonction W sous la forme (6), il est donc nécessaire de la 

 transformer en faisant usage des équations qui lient 7,, 72,..., 7,, à ^ et aux 

 constantes pour lui donner, soit la forme (7), soit une autre forme équi- 

 valente, satisfaisant aussi à l'équation (i). 



» Il n'est pas po.ssible d'obtenir la forme (7) elle-même, puisque les 

 relations qui lient les constantes «,, «2,..., «„ à celles qui figurent dans (fi) 

 nous sont inconnues; mais, si nous adoptons poiu" variables dans les deux 

 expressions, 7,, q...... 7,,, 7", 72,..., 7" et /, elles deviendront identiques, 



puisque ces variables sont indépendantes et au nombre de a?? -(- i : or 

 nous allons prouver que l'expression (7), en se transformant ainsi, ne perd 

 pas la propriété de satisfaire à (1)1 <'t 1"^' P'"' conséquent, l'expression (G) 

 doit l'acquérir. 



» Pour transformer l'expression (7) en fonction des variables indiquées, 

 il faut en effet remplacer les constantes «,, «2,..., «„ parleurs valenrs en 



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