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 dée sur la théorie des substitutions. Notre analyse confirme, en les préci- 

 sant davantage, les résultats obtenus de M. Fuchs. Nous montrons, en effet, 

 que les types cherchés se réduisent à trois correspondant respectivement 

 aux valeurs i, 2, 6 du nombre d, et nous formulons le théorème suivant : 



» Théorème. — Si l'intégrale générale crime équation linéaire du second 

 ordre est algébrique, elle sera de Informe Cx ■+- C'j, les intégrales particulières 

 X et y étant : 



» Soit des racines d'équations binômes x'" = A, j" = B, A. et B étant synec- 

 tiques par rapport à la variable z (premier type) ; 



» Soit des racines d'une même équation trinôme 



x''"-hAx"'-hB = o, 

 où A ef B sont synectiques en z (deuxième type); 



» Soit enfin les racines d'une équation trinôme oii A et B sont des fonctions 

 synectiques de z et des racines 5,, ^2» ?i d'une équation du troisième degré 



^'+«^=+/3^+7=o, 

 à coefficients synectiques en z (troisième type). 



» On arrive à ce résultat par les considérations suivantes : 

 » On sait que les intégrales d'une équation linéaire du second ordre 

 forment un système doublement infini et s'expriment linéairement en fonc- 

 tion de deux d'entre elles x et j. Si l'on fait décrire à la variable z un 

 contour fermé enveloppant des points critiques, lorsque l'on reviendra au 

 point de départ, x el y auront été changées en d'autres intégrales « x -t- by, 

 ex H- dy. Déciire ce contour revient donc à effectuer la substitution 



\ X, j ax + hy, ex -{- dy \. 



» L'ensemble des substitutions correspondant aux différents contours 

 que z peut décrire dans le plan formera un groupe, qu'on peut appelei' le 

 groupe de l'équation différentielle. 



)) Pour que l'équation proposée ait son intégrale générale algébrique, il 

 faut et il suffit que son groupe ne contienne qu'un nombre fini de substi- 

 tutions. Le problème peut donc se formuler ainsi : 



Trouver tous les groupes qu'on peut foi mer avec un nombre fini de substitu- 

 tions linéaires à deux variables. 



» La question ainsi posée devient fort analogue à celle de trouver les 

 polyèdres réguliers, laquelle peut s'énoncer sous celle forme analytique : 



Trouver tous les groupes qu'on peut former avec un nombre fini de substitu- 

 tions orthogonales à trois variables. 



