( 5o8 ) 



» Puisque le point b est un niaxitniiin de distance pour les deux courbes, 

 la normale en b à la développante est aussi normale au cercle ; le centre de 

 ce cercle est donc sur le rayon de courbure p^ en b; soit p^i le rayon. 



» La différence des ordonnées mesurant l'écart des deux courbes est 



5o aj / 3 j:= — 6 Q \ o 



I 1 



3 "" 4~£, 



3 



12 \ £ 



» Si l'on annule la dérivée de z, on trouve 



x=-i, a = «0» z — z„=S„«o 



j: = 2£ — I, « = a'o, z — Zo= S„a„(2i — i) 



12£ 



» La donnée immédiate du problème est S,, longueur de l'arc consi- 

 déré, et m,p,, ordonnée perpendiculaire à AO de l'extrémité de cet arc; 

 maison voit qu'on arrivera à la solution en supposant Sgou ao donné, et cher- 

 chant, parmi les cercles tels que z, soit égal à z„ ou z'„, celui pour lequel 



l'erreur relative -^^ est le plus petite possible. 



» En faisant le calcul, on trouve 



£ = ifi[\-2, — — o,3G, 



valeurs qui conduisent à la règle suivante : 



» Pour remplacer par un cercle une épicycloïde ou une développante, 

 dans une portion AD voisine du point de rebroussemcnt A, il faut prendre 

 sur la courbe un point b tel, que l'angle de la normale en ce point, avec la 

 normale en A, soit les o,36 de l'angle de la normale en D avec cette même 

 normale en A; mener la normale en bel décrire un cercle ayant son centre 

 sur cette normale, passant en A, et dont le rayon soit égal à i,642p„, en 

 désignant par p^ le rayon de courbure en b. 



» Cette règle permettrait évidcuunent d'obtenir, dans chaque cas parti- 

 culier, le cercle le plus avantageux pour le profil d'une dent; mais on peut 

 en déduire un tracé pratique, identique, comme opérations à effectuer, au 

 tiacé de Willis : c'est ce que montre la seconde partie du Mémoire. 



» En admettant pour la saillie des dents, en dehors de la circonférence 

 priiiiilive, les o,3i du pas a, il en résulte, dans le tracé de Willis, que 

 l'amplitude de prise varie de o, 63. a à 0,77 .rt ; l'arc Ar/ de la circonférence 

 primitive, déterminé par la normale dD à rexirémilé de la dent, peut donc 

 être regardé comme égal aux 0,70 du pas. 



