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 (mod. 16), ce qui est également absurde. L'équation (i) n'a donc pas de 

 solution où la valeur de J soit impaire. Posons clone ^" = ^'p/» P Pt 7 dé- 

 signant doux nombres impairs et premiers entre eux. La décomposition 

 de l'équation (i) se fera de l'une des manières suivantes : 



u±:x-^=2p\ ?.*"~'/j'', « rp .r-= 2'*"' 7'(/'', 2.7^7*; 



d'où 



±.x" = //- 2''--fq\ ±.x--= 2'*--/;*— 7'7'. 



» Comme 7 n'est pas diviseur d'une somme de deux carrés, il faut rejeter 

 le signe inférieur dans ces deux équations. Une nouvelle décomposition 

 donnera donc : 



p^-=\*.+ 7'(2«-\a)% p'= (2'-'X)*+ 7»/;.*; 

 2° 2-^~' p- ± X = X% 2-^~' p- ^ X = 7'f-% 



(2«/j)-=X'-f- fp.' 



,i 



u Ainsi, dans tous les cas, la solution supposée nous fournit une autre 

 solution où la valeur de / est p. ou 2*"' p., tandis que la valeur j^ =: 2'^p'Xp. 

 était supposée le plus petite possible. Il est donc impossible de résoudre l'é- 

 qualion (i) en nombres entiers, premiers entre eux et tous différents de 

 zéro. 



» 2. Admettons en outre les préliminaires exposés, soit dans la Théorie 

 des nombres dcLegendre, soit dans le IMémoire cité de Lamé, à savoir que 

 les nombres x, /, z peuvent élre supposés premiers entre eux, en sorte 

 que l'équation 



(2) x' + j' -I- z' = o 



entraîne les suivantes : 



j + z=/', z-hx = m'', X -\- y =^ Ti' , 



(3) , 



( X = — IX, y = — mij., z = — nv, 



si aucun des nombres x, y, z n'est multiple de 7, elles équations 



(4) 



ly-+-z=r, z-i-x = m'', x+y = ']^n\ 



\ X = — //., J = — "lu., z = — 7«v, 



si l'une des indéterminées z est divisible par z. 



